Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - Giải Toán 11 Tập 2

Chương VIII của sách giáo khoa Toán 11 tập 2 đi sâu vào nghiên cứu về các điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng và mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng vuông góc trong không gian. Đây là những kiến thức cơ bản và quan trọng để giải quyết các bài toán về hình học không gian.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

• Điều kiện cần: Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
• Điều kiện đủ: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

2. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các định lý sau:

• Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
• Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

3. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể sử dụng các định lý sau:

• Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
• Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.

4. Các ứng dụng của quan hệ vuông góc trong không gian

Kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Tính góc giữa hai mặt phẳng.
• Xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A. Ta có tan góc SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng góc SCA và có giá trị là arctan(1/√2).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian, bạn nên luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

7. Tổng kết

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian là một chương quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về quan hệ vuông góc là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán về hình học không gian một cách chính xác và hiệu quả. Montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp, bạn sẽ tự tin chinh phục chương này.