Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SD\). Chứng minh \(MN \bot SC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

Chứng minh \(MN//SA\)

Chứng minh \(SA \bot SC\) dựa vào việc tính các cạnh của tam giác \(SAC\)

Lời giải chi tiết

Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 2

Vì \(MN//SA\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó, \(\left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = \widehat {CSA}\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAC\) có \(SA = SC = a,AC = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = A{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S\) (theo định lí Pi-ta-go)

\( \Rightarrow SA \bot SC \Rightarrow MN \bot SC\)

Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích - Lời giải chi tiết

Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Nội dung bài tập

Bài tập 8.3 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:

Tính đạo hàm của các hàm số cho trước.
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số.
Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Lời giải chi tiết

Để giải quyết bài tập này, chúng ta cần nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm sau:

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
Đạo hàm của hàm số mũ và logarit: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x
Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1

Lời giải:

f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số g(x) = sin(2x)

Lời giải:

g'(x) = (sin(2x))' = 2cos(2x)

g''(x) = (2cos(2x))' = -4sin(2x)

Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Tìm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.
Tính tốc độ thay đổi của một đại lượng.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý những điều sau:

Nắm vững các công thức và quy tắc tính đạo hàm.
Thực hành giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:

Bài 8.4 trang 54 SGK Toán 11 tập 2
Bài 8.5 trang 55 SGK Toán 11 tập 2
Bài tập trắc nghiệm về đạo hàm

Kết luận

Bài 8.3 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.