THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của montoan.com.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào việc giải chi tiết các bài tập trong mục 4, trang 112, 113 và 114 của sách giáo khoa Toán 11 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ bản chất của từng bài toán, nắm vững phương pháp giải và tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự. Hãy cùng bắt đầu!
Cho hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha'}\right)\). Trên \(\left( \alpha \right)\), lấy tam giác ABC. Qua các đỉnh A, B, C, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt tại A, B, C. Các tứ giác ABB′A′, BCC′B′, ACC′A′ là hình gì? Hãy nhận xét về hai tam giác ABC và A′B′C′.
Cho hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha'}\right)\). Trên \(\left( \alpha \right)\), lấy tam giác ABC. Qua các đỉnh A, B, C, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt tại A, B, C. Các tứ giác ABB′A′, BCC′B′, ACC′A′ là hình gì? Hãy nhận xét về hai tam giác ABC và A′B′C′.
Phương pháp giải:
- Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
- Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
(ABB′A′) cắt 2 mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\), \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt theo giao tuyến AB, A’B’. Suy ra AB // A’B’.
Mà AA’ // BB’ nên ABB′A′ là hình bình hành. Do đó AB = A'B'.
(BCC′B′) cắt cắt 2 mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\), \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt theo giao tuyến BC, B’C’. Suy ra BC // B’C’.
Mà BB’ // CC’ nên BCC′B′ là hình bình hành. Do đó BC = B'C'.
(ACC′A′) cắt 2 mặt phẳng song song \(\left( \alpha \right)\), \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt theo giao tuyến AC, A’C’. Suy ra AC // A’C’.
Mà AA’ // CC’ nên ACC′A′ là hình bình hành. Do đó AC = A'C'.
Tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau vì AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D'. Chứng minh rằng AO song song A'O '.
Phương pháp giải:
Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Lời giải chi tiết:
(AA'O'O) cắt 2 mặt phẳng song song (ABCD), (A'B'C'D') theo giao tuyến AO, A'O'. Suy ra AO // A'O'.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Phương pháp giải:
Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải chi tiết:
Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AB // C'D' (vì cùng // CD) và AB = C'D' (vì cùng = CD). Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Do đó AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (1)
A'B // CD (vì cùng // AB) và A'B = CD (vì cùng = AB). Suy ra A'BCD là hình bình hành. Do đó A'C và B'D cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2)
AA' // CC' (vì cùng // BB') và AA' = CC' (vì cùng = BB'). Suy ra ACC'A' là hình bình hành. Do đó AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mục 4 của SGK Toán 11 tập 1 thường xoay quanh các chủ đề về phép biến hình, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các tính chất và ứng dụng của các phép biến hình này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc giải các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 4, trang 112, 113 và 114. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, từ việc xác định yêu cầu của đề bài đến việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Các bước giải sẽ được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các hình vẽ minh họa (nếu cần thiết).
Bài tập này thường yêu cầu tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép tịnh tiến. Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép tịnh tiến và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép tịnh tiến.
Ví dụ: Cho điểm A(x0, y0) và vectơ t = (a, b). Ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ t là điểm A'(x0 + a, y0 + b).
Bài tập về phép quay thường yêu cầu tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép quay. Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép quay và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép quay.
Ví dụ: Cho điểm A(x0, y0) và góc quay α. Ảnh của điểm A qua phép quay tâm O, góc α là điểm A'(x', y') được tính theo công thức:
Bài tập về phép đối xứng trục thường yêu cầu tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép đối xứng trục. Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép đối xứng trục và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép đối xứng trục.
Ví dụ: Cho điểm A(x0, y0) và đường thẳng d: ax + by + c = 0. Ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục d là điểm A'(x', y') được tính theo công thức:
(x' - x0)/a = (y' - y0)/b = -2(ax0 + by0 + c)/(a2 + b2)
Bài tập về phép đối xứng tâm thường yêu cầu tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép đối xứng tâm. Để giải bài tập này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép đối xứng tâm và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép đối xứng tâm.
Ví dụ: Cho điểm A(x0, y0) và điểm I(a, b). Ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I là điểm A'(x', y') được tính theo công thức:
x' = 2a - x0, y' = 2b - y0
Các phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong thiết kế đồ họa, kiến trúc, kỹ thuật, và cả trong các lĩnh vực khoa học khác. Việc hiểu rõ về các phép biến hình sẽ giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả hơn.
Hy vọng rằng với bài viết này, các em đã có thể hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập trong mục 4, trang 112, 113 và 114 SGK Toán 11 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
