Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc tìm đạo hàm của hàm số.
montoan.com.vn sẽ cung cấp cho các em phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, cùng với các ví dụ minh họa để giúp các em nắm vững kiến thức.
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(MN//AB\)
+ Góc giữa \(\left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right)\)
+ Tính các cạnh \(MN,ND,MD\)
+ Tính \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng \(a\)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác
\( \Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
Vì \(MN//AB\)\( \Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\) (vì góc \(\widehat {NMD}\) là góc nhọn)
Vì tam giác \(BCD\) đều nên \(MD \bot BC\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tương tự, \(ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét \(\Delta MND\) có \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow \widehat M \approx {73^o}\). Vậy \(\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}\)
Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2: Giải chi tiết
Bài 8.1 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số f(x) = (x^2 + 1)^3. Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Quy tắc đạo hàm hàm hợp
Nếu y = u(v) và v = g(x), thì dy/dx = (dy/dv) * (dv/dx). Trong bài toán này, ta có thể đặt:
- u(v) = v^3
- v = x^2 + 1
Khi đó:
- dy/dv = 3v^2
- dv/dx = 2x
Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có:
f'(x) = (dy/dv) * (dv/dx) = 3v^2 * 2x = 3(x^2 + 1)^2 * 2x = 6x(x^2 + 1)^2
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = (x^2 + 1)^3 là f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2.
Các dạng bài tập đạo hàm thường gặp
Ngoài bài 8.1, chương trình Giải tích lớp 11 còn nhiều dạng bài tập đạo hàm khác. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
- Đạo hàm của hàm số đơn giản: Ví dụ: y = x^n, y = sin(x), y = cos(x), y = e^x, y = ln(x).
- Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số: Áp dụng các quy tắc đạo hàm tương ứng.
- Đạo hàm của hàm hợp: Như bài 8.1 đã giải.
- Đạo hàm của hàm ẩn: Sử dụng phương pháp lấy đạo hàm hai vế.
- Đạo hàm cấp cao: Tìm đạo hàm bậc hai, bậc ba,... của hàm số.
Mẹo học tốt môn Toán 11
Để học tốt môn Toán 11, đặc biệt là chương trình Giải tích, các em cần:
- Nắm vững kiến thức cơ bản: Hiểu rõ các định nghĩa, định lý, quy tắc đạo hàm.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.
- Sử dụng tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa, sách bài tập, các trang web học toán online như montoan.com.vn.
- Hỏi thầy cô giáo: Khi gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo để được giải đáp.
- Lập kế hoạch học tập: Phân bổ thời gian hợp lý cho từng môn học.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
- Tìm đạo hàm của hàm số y = (2x + 1)^4
- Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(x^2)
- Tìm đạo hàm của hàm số y = e^(3x)
montoan.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về quy tắc đạo hàm hàm hợp và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = (x^2 + 1)^3 | f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2 |
