Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1
Bài 4.21 thuộc chương trình học Toán 11 tập 1, tập trung vào việc ôn tập về đường thẳng trong không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, điều kiện song song, vuông góc và giao điểm của các đường thẳng để giải quyết các bài toán cụ thể.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 11 một cách hiệu quả.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
a) Hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.
b) Đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA' và B'D'C.
c) G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
b) Trọng tâm là giao điểm của các đường trung tuyến.
c) Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng của đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: BB' // DD' (cùng // CC') và BB' = DD' (cùng = CC') nên BB'D'D là hình bình hành
Suy ra BD // B'D'. Nên BD // (B'D'C) (1)
BC // A'D' (cùng // AD) và BC = A'D' (cùng = AD) nên BCD'A' là hình bình hành
Suy ra A'B // CD'. Nên A'B // (B'D'C) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (BDA') song song với (B'D'C)
b) Gọi O, O' lần lượt là giao điểm của AC và BD, A'C' và B'D'. Suy ra O, O' là trung điểm của AC, A'C'
Gọi I là giao điểm của AC' và A'C
AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = BB') nên ACC'A' là hình bình hành. Suy ra I là trung điểm của AC' và A'C
Nên AI và A'O là trung tuyến của tam giác AA'C
Mà G1 là trọng tâm tam giác BDA'. Suy ra G1 là giao điểm của AI và A'O
Tương tự, G2 là giao điểm của CO' và C'I
G1 thuộc AI, G2 thuộc CI nên G1 và G2 đều thuộc AC'.
c) G1 và G2 là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C nên \(A{G_1} = \frac{2}{3}AI,{G_1}I = \frac{1}{3}AI\) và \(C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I,{G_2}I = \frac{1}{3}CI\)
Ta có: \({G_1}I + {G_2}I = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}CI = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}AI = \frac{2}{3}AI\)
Suy ra AG1 = G1G2 = C'G2 (cùng = \(\frac{2}{3}AI\))
Vậy G1 và G2 chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.
Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 4.21 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng trong không gian. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến phương trình đường thẳng, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, và các điều kiện về quan hệ giữa các đường thẳng.
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết cần thiết
Trước khi đi vào giải bài tập, hãy cùng ôn lại một số kiến thức cơ bản:
- Phương trình đường thẳng trong không gian: Một đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng đó.
- Điều kiện song song của hai đường thẳng: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.
- Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.
- Giao điểm của hai đường thẳng: Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình tương ứng với hai đường thẳng đó.
Phần 2: Giải chi tiết Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể của Bài 4.21 được đưa ra ở đây. Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình... Tìm giao điểm của d1 và d2, nếu có.)
Lời giải:
- Bước 1: Xác định phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của hai đường thẳng d1 và d2.
- Bước 2: Nếu hai đường thẳng có phương trình tham số, ta có thể tìm giao điểm bằng cách giải hệ phương trình:
x = x0 + at = x1 + bt
y = y0 + bt = y1 + ct
z = z0 + ct = z1 + dt
Trong đó, (x0, y0, z0) và (x1, y1, z1) là tọa độ của một điểm thuộc d1 và d2, (a, b, c) và (b, c, d) là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất, thì hai đường thẳng cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Nếu hệ phương trình vô nghiệm, thì hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau. Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm, thì hai đường thẳng trùng nhau.
Ví dụ minh họa: (Giải một ví dụ cụ thể dựa trên đề bài giả định)
Lưu ý: Trong quá trình giải bài tập, cần chú ý kiểm tra các điều kiện để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Phần 3: Bài tập tương tự và luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đường thẳng trong không gian, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
- Bài 4.22 trang 114 SGK Toán 11 tập 1
- Bài 4.23 trang 115 SGK Toán 11 tập 1
- Các bài tập trắc nghiệm về đường thẳng trong không gian
montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập về đường thẳng trong không gian. Chúc các em học tập tốt!
Bảng tóm tắt các công thức quan trọng:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Phương trình đường thẳng | Dạng tham số: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct |
| Điều kiện song song | Vectơ chỉ phương cùng phương |
| Điều kiện vuông góc | Tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 |
