Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình SGK Toán 11 tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng quan trọng về điều kiện hai đường thẳng vuông góc, các tính chất và ứng dụng của chúng trong giải toán.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm, định lý và phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc một cách dễ hiểu và trực quan nhất.
A. Lý thuyết 1. Góc giữa hai đường thẳng
A. Lý thuyết
1. Góc giữa hai đường thẳng
| Góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a, b, kí hiệu (a,b). |
Nhận xét:
+ \({0^o} < (a,b) < {90^o}\).
+ Nếu a, b song song hoặc trùng nhau thì \((a,b) = {0^o}\).
2. Hai đường thẳng vuông góc
| Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^o}\). |
Lưu ý:
- Khi hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau thì ta kí hiệu \(a \bot b\).
- Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình vuông. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) A’B’ và BC.
b) A’D’ và BD.
c) B’C’ và AD.
Giải:
a) Ta có A’B’ // AB, suy ra (A’B’, BC) = (AB, BC).
Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = {90^o}\). Vậy \((A'B',BC) = {90^o}\).
b) Ta có A’D’ // AD, suy ra (A’D’, BD) = (AB, BD).
Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ADB} = {45^o}\). Vậy \((A'D',BD) = {45^o}\).
c) Ta có B’C’ // BC và BC // AD nên B’C’ // AD. Vậy \((B'C',AD) = {0^o}\).
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, M, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC và AD. Chứng minh rằng \(EF \bot MK\).
Giải:
Ta có M và K lần lượt là trung điểm của AC và AD, do đó MK // CD.
Suy ra, góc giữa EF và MN bằng góc giữa EF và CD.
Do ABCD là tứ diện đều cạnh a nên các tam giác ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a.
CE và DE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của các tam giác đều cạnh a. Ta tính được \(CE = DE = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\). Vậy tam giác CED cân tại E.
Do F là trung điểm cạnh đáy CD của tam giác cân CED nên \(EF \bot CD\).
Suy ra \((EF,MK) = (EF,CD) = {90^o}\).
Vậy \(EF \bot MK\).
Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11
Trong hình học không gian và mặt phẳng, khái niệm về hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng và giải quyết nhiều bài toán. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc, dựa trên nội dung SGK Toán 11, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Điều kiện hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong mặt phẳng, điều kiện để hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc là tích các hệ số góc của chúng bằng -1. Cụ thể, nếu d1 có phương trình y = a1x + b1 và d2 có phương trình y = a2x + b2 thì d1 ⊥ d2 khi và chỉ khi a1 * a2 = -1.
2. Tính chất của hai đường thẳng vuông góc
- Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng này là đường trung trực của đường thẳng kia.
- Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Có nhiều phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tùy thuộc vào thông tin đã cho:
- Sử dụng điều kiện về tích các hệ số góc: Nếu biết phương trình của hai đường thẳng, hãy tính hệ số góc của chúng và kiểm tra xem tích của chúng có bằng -1 hay không.
- Sử dụng định lý Pythagoras: Nếu biết độ dài ba cạnh của một tam giác, hãy kiểm tra xem tam giác đó có phải là tam giác vuông hay không. Nếu tam giác vuông, thì hai cạnh kề với góc vuông là hai đường thẳng vuông góc.
- Sử dụng tính chất của đường trung trực: Nếu chứng minh được một đường thẳng là đường trung trực của một đường thẳng khác, thì hai đường thẳng đó vuông góc.
4. Ứng dụng của lý thuyết hai đường thẳng vuông góc
Lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học, chẳng hạn như:
- Giải các bài toán về hình học phẳng và hình học không gian.
- Xây dựng các mô hình toán học để mô tả các hiện tượng vật lý.
- Tính toán các góc và khoảng cách trong các ứng dụng kỹ thuật.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: y = 2x + 1 và d2: y = -1/2x + 3. Chứng minh rằng d1 ⊥ d2.
Giải: Hệ số góc của d1 là a1 = 2 và hệ số góc của d2 là a2 = -1/2. Ta có a1 * a2 = 2 * (-1/2) = -1. Vậy d1 ⊥ d2.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AD ⊥ BC.
Giải: Vì D là trung điểm của BC, nên BD = CD. Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AD bằng nửa cạnh huyền BC, do đó AD = BD = CD. Vậy tam giác ADC cân tại D, suy ra góc DAC = góc DCA. Tương tự, tam giác ABD cân tại D, suy ra góc DAB = góc DBA. Do đó, góc BAC = góc DAB + góc DAC = góc DBA + góc DCA = 90 độ. Vậy AD ⊥ BC.
6. Bài tập vận dụng
- Cho hai đường thẳng d1: y = 3x - 2 và d2: y = -1/3x + 1. Chứng minh rằng d1 ⊥ d2.
- Cho tam giác MNP vuông tại M. Gọi I là trung điểm của NP. Chứng minh rằng MI ⊥ NP.
- Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và vuông góc với đường thẳng y = -2x + 3.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết hai đường thẳng vuông góc. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
