Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SGK Toán 11

Chương 3 trong sách "Cùng khám phá Toán 11 tập 1" đi sâu vào khái niệm giới hạn, một nền tảng cơ bản của giải tích. Chương này không chỉ giới thiệu định nghĩa giới hạn mà còn trình bày các tính chất, định lý quan trọng và các phương pháp tính giới hạn.

1. Khái niệm Giới hạn

Giới hạn của một hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Hiểu rõ khái niệm này là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến sự thay đổi của hàm số.

Định nghĩa giới hạn: Nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới a là L, ký hiệu là lim_x→a f(x) = L.
Giới hạn một bên: Giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số tại một điểm.
Giới hạn vô cùng: Hàm số tiến tới vô cùng khi x tiến tới một giá trị nào đó.

2. Tính chất của Giới hạn

Các tính chất của giới hạn giúp đơn giản hóa việc tính toán giới hạn của các hàm số phức tạp. Một số tính chất quan trọng bao gồm:

Giới hạn của tổng: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
Giới hạn của tích: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
Giới hạn của thương: lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

3. Hàm số liên tục

Hàm số liên tục tại một điểm là hàm số không gián đoạn tại điểm đó. Điều này có nghĩa là giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu:

Hàm số f(x) xác định tại x₀.
Tồn tại lim_x→x₀ f(x).
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

4. Ứng dụng của Giới hạn và Hàm số liên tục

Khái niệm giới hạn và hàm số liên tục có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học kỹ thuật, bao gồm:

Tính đạo hàm: Đạo hàm của một hàm số được định nghĩa dựa trên khái niệm giới hạn.
Tính tích phân: Tích phân của một hàm số cũng được định nghĩa dựa trên khái niệm giới hạn.
Giải các bài toán vật lý: Ví dụ, tính vận tốc tức thời của một vật thể chuyển động.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: Áp dụng tính chất của giới hạn, ta có:

lim_x→2 (x² + 3x - 1) = lim_x→2 x² + lim_x→2 3x - lim_x→2 1 = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và hàm số liên tục, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau, kèm theo đáp án chi tiết để bạn tự kiểm tra và đánh giá kết quả học tập.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập được cung cấp trong chương này, bạn sẽ có một nền tảng vững chắc để tiếp tục học tập và khám phá thế giới toán học đầy thú vị.