Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Cùng khám phá

Bài 1 trong chương 3 của sách Cùng khám phá Toán 11 tập 1 giới thiệu khái niệm cơ bản về giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến sự hội tụ và phân kỳ của dãy số.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số f: N → R, tức là mỗi số tự nhiên n được gán với một số thực u_n. Dãy số thường được ký hiệu là (u_n) hoặc {u_n}. Ví dụ, dãy số 1, 2, 3, ... có thể được viết là u_n = n.

2. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Nói một cách đơn giản, dãy số (u_n) tiến tới L khi n tiến tới vô cùng, nghĩa là các số hạng của dãy số ngày càng gần L.

3. Các ví dụ về giới hạn của dãy số

• Ví dụ 1:lim_n→∞ 1/n = 0. Khi n tăng lên vô cùng, 1/n tiến tới 0.
• Ví dụ 2:lim_n→∞ (2n + 1)/n = 2. Khi n tăng lên vô cùng, (2n + 1)/n tiến tới 2.
• Ví dụ 3: Dãy số (-1)ⁿ không có giới hạn. Dãy số này dao động giữa -1 và 1.

4. Các tính chất của giới hạn dãy số

Giới hạn của dãy số có các tính chất quan trọng sau:

1. Tính duy nhất: Nếu một dãy số có giới hạn, thì giới hạn đó là duy nhất.
2. Tính chất cộng:lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
3. Tính chất nhân:lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
4. Tính chất chia:lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

5. Bài tập áp dụng

Hãy tìm giới hạn của các dãy số sau:

• a) lim_n→∞ (3n - 2)/(n + 1)
• b) lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ
• c) lim_n→∞ sin(1/n)

Hướng dẫn giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho n, ta được lim_n→∞ (3 - 2/n)/(1 + 1/n) = 3/1 = 3.

b) Đây là giới hạn quen thuộc, lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e (số Euler).

c) Sử dụng giới hạn lim_x→0 sin(x)/x = 1, ta có lim_n→∞ sin(1/n) = 1.

6. Kết luận

Bài 1 đã giới thiệu những khái niệm cơ bản về giới hạn của dãy số. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để học tập các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích, như giới hạn của hàm số, đạo hàm, tích phân,...

Hy vọng rằng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.