THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Giới hạn của dãy số, một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11 theo sách giáo khoa. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng vững chắc về giới hạn dãy số, các định nghĩa, tính chất và ứng dụng của nó.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online hiệu quả nhất với các bài giảng được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo nhiều ví dụ minh họa và bài tập thực hành.
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn bằng 0
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = 0\).
* Chú ý:
+ \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0,k \in \mathbb{Z}.\)
+ Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \).
* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\)
3. Định lí về giới hạn hữu hạn
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) và c là hằng số thì
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)
II. Giới hạn vô cực
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \)khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).
*Nhận xét:
\(\begin{array}{l}a,\lim {n^k} = + \infty ,k \in \mathbb{N},k \ge 1.\\b,\lim {q^n} = + \infty ;q \in \mathbb{R},q > 1.\end{array}\)
* Chú ý:
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = + \infty \)(hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = - \infty \))thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0,{v_n} > 0\)thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0,{v_n} < 0\)thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = - \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \)thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = + \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = a < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \)thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = - \infty \)
Giới hạn của dãy số là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự hội tụ và phân kỳ của dãy số. Hiểu rõ lý thuyết này là bước đệm quan trọng để tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn trong toán học.
Một dãy số (un) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |un - L| < ε. Ký hiệu: limn→∞ un = L.
Trong đó:
Các tính chất quan trọng của giới hạn dãy số bao gồm:
Có một số dạng giới hạn đặc biệt thường gặp:
Ví dụ 1: Tính limn→∞ (1/n).
Ta có thể chứng minh rằng limn→∞ (1/n) = 0 bằng định nghĩa giới hạn. Với mọi ε > 0, ta chọn N = ⌈1/ε⌉. Khi đó, với mọi n > N, ta có 0 < 1/n < 1/N ≤ ε. Vậy, limn→∞ (1/n) = 0.
Ví dụ 2: Tính limn→∞ (2n + 1) / (n + 3).
Ta có thể sử dụng tính chất giới hạn của thương:
limn→∞ (2n + 1) / (n + 3) = (limn→∞ (2n + 1)) / (limn→∞ (n + 3)) = 2/1 = 2.
Lý thuyết giới hạn dãy số có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về giới hạn dãy số, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế.
