Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho a, b, c là các số thực dương và khác 1. So sánh a, b, c và 1 trong mỗi trường hợp sau:
Đề bài
Cho a, b, c là các số thực dương và khác 1. So sánh a, b, c và 1 trong mỗi trường hợp sau:
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi a > 1 và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi 0 < a < 1.
b) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi a > 1 và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi 0 < a < 1.
Lời giải chi tiết
a) Ta thấy hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên a > 1
Ta thấy hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) 0 < b < 1
Ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) c > 1
b) Ta thấy hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên a > 1
Ta thấy hàm số \(y = {b^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên b > 1
Ta thấy hàm số \(y = {c^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên 0 < c < 1
Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2: Giải tích - Tổng quan
Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra, do đó việc nắm vững phương pháp giải là vô cùng quan trọng.
Nội dung bài toán
Bài 6.12 thường yêu cầu học sinh:
- Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
- Xác định các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Phương pháp giải chi tiết
Để giải bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 một cách hiệu quả, các em cần thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số f(x).
- Bước 2: Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Đồng thời, xác định các điểm x mà tại đó đạo hàm không xác định. Các điểm này được gọi là các điểm tới hạn.
- Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm: Chia trục số thành các khoảng dựa trên các điểm tới hạn. Chọn một giá trị đại diện trong mỗi khoảng và tính dấu của đạo hàm tại giá trị đó.
- Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Bước 5: Tìm cực trị: Sử dụng tiêu chuẩn xét cực trị (dựa vào dấu của đạo hàm hoặc đạo hàm cấp hai) để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta sẽ giải bài toán tìm cực đại, cực tiểu của hàm số này theo các bước trên:
- Bước 1: Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
- Bước 2: Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
- Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm:
- Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
- Bước 5: Tìm cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2, và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
| Khoảng | x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + |
Lưu ý quan trọng
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
- Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
- Lập bảng xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận để tránh sai sót.
- Hiểu rõ ý nghĩa của các điểm tới hạn và cực trị.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập để giúp các em học toán hiệu quả hơn.
Kết luận
Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 là một bài toán quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán một cách chính xác và hiệu quả.
