Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi, tức là độ cong của hàm số. Việc hiểu rõ về đạo hàm cấp hai là vô cùng quan trọng trong việc phân tích hàm số, tìm cực trị, và giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại một điểm x₀, tức là f'(x₀) tồn tại, và đạo hàm f'(x) có đạo hàm tại x₀, thì đạo hàm của f'(x) tại x₀ được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) tại x₀, ký hiệu là f''(x₀).

Công thức tổng quát: f''(x) = (f'(x))'

2. Ký hiệu và ý nghĩa

Đạo hàm cấp hai có nhiều ký hiệu khác nhau, phổ biến nhất là f''(x), y'', d²y/dx². Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai là tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một. Nó cho biết hàm số đang lồi hay lõm tại một điểm.

Nếu f''(x) > 0: Hàm số lồi (convex) tại điểm đó.
Nếu f''(x) < 0: Hàm số lõm (concave) tại điểm đó.
Nếu f''(x) = 0: Điểm uốn (inflection point) có thể xảy ra.

3. Quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện tuần tự các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản vẫn được áp dụng khi tính đạo hàm cấp hai, bao gồm quy tắc lũy thừa, quy tắc tích, quy tắc thương, và quy tắc chuỗi.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 1.

Giải:

f'(x) = 3x² + 4x - 5
f''(x) = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(x).

Giải:

f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)

5. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm cấp hai giúp xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
Xác định khoảng lồi, lõm của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm cấp hai, ta có thể xác định khoảng mà hàm số lồi hoặc lõm.
Tìm điểm uốn của hàm số: Điểm uốn là điểm mà hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
Giải các bài toán vật lý: Đạo hàm cấp hai được sử dụng để mô tả gia tốc trong chuyển động.

6. Bài tập vận dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x⁴ - 3x² + 2.
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos(2x).
Xác định khoảng lồi, lõm của hàm số y = x³ - 6x² + 9x + 1.

Kết luận

Bài học về đạo hàm cấp hai đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về đạo hàm bậc hai, cách tính và ứng dụng của nó. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm và hàm số.