THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 7.11 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 - Cung khám phá. Bài học này thuộc chương trình Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải bài tập Toán 11 một cách chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
a) \(y = {2^x} - {5^x}\)
b) \(y = \sqrt {x + 3} \)
c) \(y = x\ln x\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng công thức \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a\)
b) Áp dụng công thức \(\sqrt u ' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\); \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - v'.u}}{{{v^2}}}\)
c) Áp dụng công thức \(\left( {u.v} \right)' = u'v + v'u\); \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' = \left( {{2^x} - {5^x}} \right)' = {2^x}\ln 2 - {5^x}\ln 5\)
\(y'' = \left( {{2^x}\ln 2 - {5^x}\ln 5} \right)' = {2^x}\ln 2.\ln 2 - {5^x}\ln 5.\ln 5 = {2^x}{\ln ^2}2 - {5^x}{\ln ^2}5\)
b) \(y' = \sqrt {x + 3} ' = \frac{{\left( {x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {x + 3} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }}\)
\(y'' = \frac{{1'.2\sqrt {x + 3} - \left( {2\sqrt {x + 3} } \right)'.1}}{{{{\left( {2\sqrt {x + 3} } \right)}^2}}} = \frac{{ - 2.\left( {x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {x + 3} }}.\frac{1}{{4\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{4\left( {x + 3} \right)\sqrt {x + 3} }}\)
c) \(y' = \left( {x\ln x} \right)' = x'.\ln x + \left( {\ln x} \right)'.x = \ln x + \frac{1}{x}.x = \ln x + 1\)
\(y'' = \left( {\ln x + 1} \right)' = \left( {\ln x} \right)' + 1' = \frac{1}{x}\)
Bài 7.11 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:
Đề bài thường mô tả một tình huống cụ thể, ví dụ như sự thay đổi của thể tích một hình cầu khi bán kính thay đổi, hoặc sự thay đổi của quãng đường đi được của một vật thể khi thời gian trôi qua. Nhiệm vụ của học sinh là xác định hàm số mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng và tính đạo hàm của hàm số đó để tìm ra tốc độ thay đổi cần thiết.
Bài toán: Một hình cầu có bán kính thay đổi theo thời gian. Khi bán kính R = 3cm, tốc độ thay đổi của bán kính là dR/dt = 2cm/s. Tính tốc độ thay đổi của thể tích hình cầu theo thời gian tại thời điểm đó.
Giải:
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong Toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Vật lý, Kinh tế, và Kỹ thuật. Việc hiểu rõ về đạo hàm không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn mở ra cánh cửa cho việc khám phá những ứng dụng thực tế của Toán học.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải Bài 7.11 trang 47 SGK Toán 11 tập 2 - Cung khám phá. Chúc các em học tập tốt!
