Bài 7.15 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 7.15 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 - Giải chi tiết và phương pháp

Bài 7.15 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, cụ thể là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh tìm cực trị của hàm số, xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

• Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là gì và cách tính đạo hàm.
• Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
• Ứng dụng đạo hàm: Biết cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số.

Phân tích bài toán Bài 7.15 trang 50 SGK Toán 11 tập 2:

Thông thường, bài toán sẽ cho một hàm số y = f(x) và yêu cầu:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f'(x).
3. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
4. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
5. Vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp giải:

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. Bước 1: Tìm tập xác định: Xác định các giá trị của x sao cho hàm số f(x) có nghĩa.
2. Bước 2: Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm f'(x).
3. Bước 3: Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Sau đó, xét dấu của f'(x) để xác định các điểm cực đại, cực tiểu.
4. Bước 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
5. Bước 5: Vẽ đồ thị: Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa:

Giả sử hàm số y = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán:

Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.

Bước 2: Đạo hàm: y' = 3x² - 6x.

Bước 3: Điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2. Xét dấu của y', ta thấy:

• Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
• Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
• Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.

Vậy hàm số có cực đại tại x = 0, y_cđ = 2 và cực tiểu tại x = 2, y_ct = -2.

Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Bước 5: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.

Lưu ý:

Khi giải bài toán về ứng dụng đạo hàm, học sinh cần chú ý đến các điểm sau:

• Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm chính xác.
• Xét dấu đạo hàm cẩn thận để xác định các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết Bài 7.15 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!