THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của montoan.com.vn. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 1 tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các phép biến hình là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên.
a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \). b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).
a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \).
b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức \(I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\), trong đó Im là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc \(\alpha \) như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: \(I = {I_m}{\cos ^2}\alpha \).
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = {I_m}\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}} \right) = {I_m}.\left( {1 - \frac{1}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}} \right)\\ = {I_m}.\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {I_m}.{\cos ^2}\alpha \end{array}\)
a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh \(\cos \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\); \(\sin \left( { - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( { - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:
\(\cos \left( { - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha \right)\)
\(\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \left( \alpha \right)\)
b)
\(\begin{array}{l}\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \cot \alpha \end{array}\)
a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\); \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha \right)\)
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \left( \alpha \right)\)
b) \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = - \tan \alpha \)
\(\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{ - \tan \alpha }} = - \cot \alpha \)
a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh \(\sin \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:
\(\sin \left( {\alpha + \pi } \right) = - \sin \alpha \)
\({\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha \)
b) \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = \tan \alpha \)
\(\cot \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = \cot \alpha \)
a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha \right)\)
\({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha \right)\)
b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cot \alpha \)
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha \)
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc \(\alpha \):
\(B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow B = {\left( { - \sin \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow B = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow B = 1\end{array}\)
Vậy B không phụ thuộc \(\alpha \).
Mục 2 trong SGK Toán 11 tập 1 giới thiệu về phép biến hình, một khái niệm quan trọng trong hình học. Phép biến hình là một ứng dụng biến một tập hợp các điểm sang một tập hợp các điểm khác, đồng thời bảo toàn một số tính chất hình học nhất định.
Phép tịnh tiến là một phép biến hình đơn giản, di chuyển mỗi điểm một khoảng không đổi theo một hướng xác định. Để xác định một phép tịnh tiến, ta cần chỉ ra một vectơ tịnh tiến. Công thức của phép tịnh tiến:
Trong đó (x, y) là tọa độ của điểm ban đầu, (x', y') là tọa độ của điểm sau khi tịnh tiến, và (a, b) là tọa độ của vectơ tịnh tiến.
Phép đối xứng qua một điểm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM'. Công thức của phép đối xứng qua điểm I(xI, yI):
Phép đối xứng qua một đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'. Việc tìm tọa độ điểm đối xứng qua một đường thẳng đòi hỏi kiến thức về phương trình đường thẳng và các công thức tính khoảng cách.
Phép quay quanh điểm O(xO, yO) với góc α là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM' = xOM + α. Công thức của phép quay:
Trang 11: Bài 1, 2 tập trung vào việc nhận biết các phép biến hình cơ bản. Các em cần xác định đúng loại phép biến hình được sử dụng trong mỗi trường hợp.
Trang 12: Bài 3, 4 yêu cầu các em vận dụng công thức của phép tịnh tiến để tìm tọa độ điểm ảnh sau khi tịnh tiến.
Trang 13: Bài 5, 6 liên quan đến phép đối xứng qua một điểm. Các em cần sử dụng công thức để tìm tọa độ điểm đối xứng.
Trang 14: Bài 7, 8 tập trung vào phép đối xứng qua một đường thẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về phương trình đường thẳng.
Trang 15: Bài 9, 10 yêu cầu các em vận dụng phép quay để giải quyết các bài toán hình học.
Phép biến hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong thiết kế đồ họa, xây dựng, và các lĩnh vực khoa học khác. Việc hiểu rõ về phép biến hình giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 2 trang 11, 12, 13, 14, 15 SGK Toán 11 tập 1. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
