Lý thuyết Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng về các tứ phân vị, một khái niệm quan trọng trong thống kê toán học. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách xác định các tứ phân vị, ý nghĩa của chúng và cách ứng dụng trong việc phân tích dữ liệu.
Montoan.com.vn mang đến bài giảng chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững lý thuyết và áp dụng thành công vào giải bài tập.
I. Nhóm chứa trung vị
I. Nhóm chứa trung vị
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{N}{2}\), trong đó N là cỡ mẫu.
II. công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
\({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h\)
Trong đó:
- N là cỡ mẫu
- \({L_m}\), \({n_m}\) và \(h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa trung vị.
- T là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm chứa trung vị.
- Trong trường hợp nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên của mẫu số liệu, người ta quy ước \(T = 0\).
* Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu và có thể sử dụng làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.
III. Công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Công thức tính các tứ phân vị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm:
Nhóm chứa \({Q_i}\left( {i = 1,2,3} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{iN}}{4}\) và
\({Q_i} = {L_i} + \frac{{i.\frac{N}{4} - {T_i}}}{{{n_i}}}.h\)
Trong đó:
- N là cỡ mẫu .
- \({L_i}\), \({n_i}\) và \(h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa \({Q_i}\).
- \({T_i}\) là tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \({Q_i}\).
- \({Q_i}\) là nhóm đầu tiên của mẫu số liệu, người ta quy ước \({T_i} = 0\).
* Lưu ý: Trong trường hợp các nhóm có độ dài bằng nhau thì h giống nhau với mọi nhóm.
* Ý nghĩa:
- Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ của tứ phân vị của mẫu số liệu.
- Các tứ phân vị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) chia mẫu số liệu ghép nhóm thành 4 phần có số liệu bằng nhau. Các tứ phân vị cho ta một hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu. Dựa vào các tứ phân vị, ta có thể biết số liệu tập trung ít hay nhiều quanh trung vị.
Lý thuyết Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11
Trong thống kê, các tứ phân vị là những giá trị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp thành bốn phần bằng nhau. Việc hiểu rõ về tứ phân vị giúp chúng ta đánh giá sự phân bố của dữ liệu và xác định các giá trị đặc trưng.
1. Khái niệm về tứ phân vị
Giả sử ta có một mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm: x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn.
- Tứ phân vị thứ nhất (Q1): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số lượng các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q1 bằng 25% tổng số giá trị.
- Tứ phân vị thứ hai (Q2): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số lượng các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q2 bằng 50% tổng số giá trị. Q2 chính là trung vị của mẫu số liệu.
- Tứ phân vị thứ ba (Q3): Là giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số lượng các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q3 bằng 75% tổng số giá trị.
2. Cách tính các tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm
Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán các tứ phân vị sẽ phức tạp hơn một chút. Dưới đây là các bước thực hiện:
- Tính kích thước của mỗi phần: Kích thước mỗi phần bằng n/4, trong đó n là tổng số tần số.
- Xác định vị trí của Q1, Q2, Q3: Sử dụng công thức: Vị trí tứ phân vị = (k/4) * n, với k = 1, 2, 3 tương ứng với Q1, Q2, Q3.
- Tìm khoảng chứa tứ phân vị: Xác định khoảng chứa tứ phân vị dựa trên vị trí đã tính được.
- Tính giá trị tứ phân vị: Sử dụng công thức nội suy để tính giá trị tứ phân vị:
- xl: Giới hạn dưới của khoảng chứa tứ phân vị.
- Fl-1: Tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa tứ phân vị.
- fl: Tần số của khoảng chứa tứ phân vị.
- h: Khoảng lớp.
Qi = xl + [(Vị trí tứ phân vị - Fl-1) / fl] * h
Trong đó:
3. Khoảng tứ phân vị
Khoảng tứ phân vị (IQR) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: IQR = Q3 - Q1. Khoảng tứ phân vị cho biết mức độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm của mẫu số liệu.
4. Ứng dụng của các tứ phân vị
- Phân tích sự phân bố dữ liệu: Các tứ phân vị giúp xác định hình dạng của phân bố dữ liệu (ví dụ: đối xứng, lệch phải, lệch trái).
- Phát hiện giá trị ngoại lệ: Các giá trị nằm ngoài khoảng [Q1 - 1.5IQR, Q3 + 1.5IQR] thường được coi là giá trị ngoại lệ.
- So sánh các tập dữ liệu: Các tứ phân vị có thể được sử dụng để so sánh sự phân bố của các tập dữ liệu khác nhau.
5. Ví dụ minh họa
Giả sử ta có bảng tần số sau:
| Khoảng | Tần số (f) | Tần số tích lũy (F) |
|---|---|---|
| [10-20) | 5 | 5 |
| [20-30) | 10 | 15 |
| [30-40) | 15 | 30 |
| [40-50) | 8 | 38 |
| [50-60) | 2 | 40 |
Tổng số tần số n = 40.
Vị trí Q1 = (1/4) * 40 = 10. Q1 nằm trong khoảng [20-30). Áp dụng công thức nội suy, ta có Q1 = 20 + [(10-5)/10] * 10 = 25.
Vị trí Q2 = (2/4) * 40 = 20. Q2 nằm trong khoảng [30-40). Áp dụng công thức nội suy, ta có Q2 = 30 + [(20-15)/15] * 10 = 33.33.
Vị trí Q3 = (3/4) * 40 = 30. Q3 nằm trong khoảng [30-40). Áp dụng công thức nội suy, ta có Q3 = 30 + [(30-15)/15] * 10 = 40.
6. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về các tứ phân vị, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
