Bài 8.29 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Bài 8.29 trang 83 SGK Toán 11 tập 2
Bài 8.29 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này một cách hiệu quả.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có AC = 2a.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB và tam giác SAB vuông tại S. Tính thể tích khối chóp này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức tính thể tích hình chóp: \(V = \frac{1}{3}S.h\) với S là diện tích đáy, h là đường cao.
Hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: \(AB.AC = AH.BC\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + C{B^2}} \\ \Leftrightarrow 2a = \sqrt {2A{B^2}} \\ \Leftrightarrow 4{a^2} = 2A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow AB = \sqrt 2 a\end{array}\)
Xét tam giác SAB vuông tại S:
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 a = \sqrt {2S{A^2}} \\ \Leftrightarrow 2{a^2} = 2S{A^2}\\ \Leftrightarrow SA = a\end{array}\)
Tam giác vuông SAB có SH là đường cao có:
\(\begin{array}{l}SH.AB = SA.SB\\ \Leftrightarrow SH = \frac{{a.a}}{{\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{a}a\end{array}\)
\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.A{B^2}.SH = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3}\)
Bài 8.29 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Giải chi tiết
Bài 8.29 thuộc chương trình giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Nội dung bài toán
Bài 8.29 thường có dạng như sau: Cho hàm số y = f(x). Tìm các điểm cực trị của hàm số. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Vẽ đồ thị hàm số.
Phương pháp giải
- Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số f(x).
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Kiểm tra điều kiện để các điểm nghiệm là điểm cực trị (ví dụ: xét dấu đạo hàm cấp hai).
- Xác định khoảng đơn điệu: Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến.
- Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được (điểm cực trị, khoảng đơn điệu, giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng) để vẽ đồ thị hàm số.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
- Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
- Xác định khoảng đơn điệu:
- Trên khoảng (-∞; 0), y' > 0, hàm số đồng biến.
- Trên khoảng (0; 2), y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng (2; +∞), y' > 0, hàm số đồng biến.
Vậy hàm số có điểm cực đại tại x = 0 và điểm cực tiểu tại x = 2.
Lưu ý khi giải bài tập
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.
- Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số hoặc sử dụng các công cụ tính toán trực tuyến.
Ứng dụng của bài toán
Việc giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
- Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định.
- Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
- Giải các bài toán vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, lực, năng lượng.
Bài tập tương tự
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác.
Kết luận
Bài 8.29 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học Toán 11 và các chương trình học nâng cao.
montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và tự tin hơn trong quá trình học tập.
