Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2 trong chương 3 của sách Cùng khám phá Toán 11 tập 1 tập trung vào khái niệm giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm then chốt, đặt nền móng cho việc học các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích như đạo hàm, tích phân. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết nội dung bài học, bao gồm định nghĩa, các tính chất và phương pháp tính giới hạn.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a được ký hiệu là lim_x→a f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε. Nói một cách đơn giản, khi x tiến gần đến a, giá trị của f(x) tiến gần đến L.

2. Các tính chất của giới hạn

Giới hạn của một tổng: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
Giới hạn của một tích: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
Giới hạn của một thương: lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)
Giới hạn của một hằng số: lim_x→a c = c (c là hằng số)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Có một số dạng giới hạn thường gặp mà bạn cần nắm vững:

Giới hạn của hàm đa thức: lim_x→a P(x) = P(a)
Giới hạn của hàm hữu tỉ: Cần xét các trường hợp mẫu số khác 0 và mẫu số bằng 0.
Giới hạn của hàm căn thức: Cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm.

4. Phương pháp tính giới hạn

Có nhiều phương pháp để tính giới hạn, bao gồm:

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của biểu thức chứa căn thức.
Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt: lim_x→0 sin(x)/x = 1, lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4.

Ví dụ 2: Tính lim_x→0 sin(x) / x

Giải: Đây là một giới hạn đặc biệt, lim_x→0 sin(x) / x = 1.

6. Bài tập luyện tập

Tính lim_x→1 (x³ - 1) / (x - 1)
Tính lim_x→0 (√x + 1 - 1) / x
Tính lim_x→∞ (2x² + 3x - 1) / (x² + 1)

Bài 2. Giới hạn của hàm số là một bước quan trọng trong quá trình học toán. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng liên quan đến giới hạn sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.