Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

a) \({u_n} = - 4 - \frac{1}{n};\)

b) \({u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}};\)

c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n!.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\)

Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.

Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\) thì là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = - 4 - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}} = 1 - \frac{7}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{7}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{7}{{n + 2}}} \right) = \frac{7}{{n + 2}} - \frac{7}{{n + 3}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right)n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = - \left( {n + 1} \right)<0\)

Do đó, \( - \left( {n + 1} \right) < 1\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1: Giải chi tiết và phân tích chuyên sâu

Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về phép cộng, trừ vector, phép nhân vector với một số thực để giải quyết các bài toán cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết từng phần của bài tập này:

Phần 1: Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

Vector: Một đoạn thẳng có hướng.
Phép cộng vector: Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
Phép trừ vector:AB - AC = CB
Phép nhân vector với một số thực:k.AB là một vector cùng hướng với AB nếu k > 0 và ngược hướng nếu k < 0. Độ dài của k.AB là |k|.AB.

Phần 2: Giải chi tiết Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1

Bài 2.4: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

AB + CD = AD + CB
AB - CD = AC - DB

Chứng minh:

Chứng minh phần 1: AB + CD = AD + CB

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

AB + CD là tổng của hai vector AB và CD. Để tính tổng này, ta vẽ hình bình hành ABCD. Khi đó, AB + CD = AC.

Tương tự, AD + CB là tổng của hai vector AD và CB. Vẽ hình bình hành ACBD. Khi đó, AD + CB = AC.

Vậy, AB + CD = AD + CB.

Chứng minh phần 2: AB - CD = AC - DB

Ta có: AB - CD = AB + (-CD). Vector (-CD) là vector ngược hướng với CD và có cùng độ dài.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: AB + (-CD) = AC.

Tương tự, AC - DB = AC + (-DB). Vector (-DB) là vector ngược hướng với DB và có cùng độ dài.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: AC + (-DB) = AC.

Vậy, AB - CD = AC - DB.

Phần 3: Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Cho tam giác ABC. Tìm vector AB + AC.
Cho hình vuông ABCD. Tính AB + BC + CD + DA.

Phần 4: Kết luận

Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về các phép toán vector. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng vững chắc cho các bài học tiếp theo.

Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán 11. Chúc các em học tốt!