Bài 3. Tổ hợp

Bài 3. Tổ hợp - SBT Toán 10 - Cánh diều: Hướng dẫn chi tiết và bài tập vận dụng

Bài 3 trong SBT Toán 10 Cánh diều tập trung vào kiến thức cơ bản về tổ hợp, một trong những khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp. Hiểu rõ về tổ hợp là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy logic.

1. Khái niệm cơ bản về tổ hợp

Tổ hợp là một cách chọn ra một số phần tử từ một tập hợp mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính theo công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Trong đó:

n là số phần tử của tập hợp
k là số phần tử được chọn
! là ký hiệu giai thừa (ví dụ: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

2. Các tính chất của tổ hợp

Có một số tính chất quan trọng của tổ hợp cần lưu ý:

C_n^k = C_n^n-k
C_n⁰ = 1
C_n¹ = n
C_nⁿ = 1

3. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Từ một nhóm 10 người, cần chọn ra 3 người để thành lập một tổ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Đây là một bài toán tổ hợp vì thứ tự chọn không quan trọng. Số cách chọn là:

C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120

Ví dụ 2: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 nam và 8 nữ. Cần chọn ra một tổ gồm 5 học sinh, trong đó có ít nhất 3 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Bài toán này có thể được giải bằng cách xét các trường hợp:

Trường hợp 1: 3 nam, 2 nữ: C₁₂³ * C₈² = 220 * 28 = 6160
Trường hợp 2: 4 nam, 1 nữ: C₁₂⁴ * C₈¹ = 495 * 8 = 3960
Trường hợp 3: 5 nam, 0 nữ: C₁₂⁵ * C₈⁰ = 792 * 1 = 792

Tổng số cách chọn là: 6160 + 3960 + 792 = 10912

4. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tổ hợp, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập luyện tập:

Từ một tập hợp gồm 7 phần tử, hỏi có bao nhiêu tổ hợp chập 3?
Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên cần chọn ra 5 cầu thủ để đá chính. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Có 5 quả bóng màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả bóng?