Bài 35. Định lí Pythagore và ứng dụng

Định lí Pythagore là một trong những nền tảng cơ bản của hình học Euclide, được đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagore. Định lí này mô tả mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông.

1. Nội dung định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Công thức được biểu diễn như sau:

a² + b² = c²

Trong đó:

a và b là độ dài hai cạnh góc vuông
c là độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông)

2. Chứng minh định lí Pythagore

Có rất nhiều cách chứng minh định lí Pythagore. Một trong những cách chứng minh phổ biến nhất là sử dụng diện tích hình vuông:

Xét hình vuông ABCD có cạnh bằng (a + b). Bên trong hình vuông này, ta vẽ bốn tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có cạnh góc vuông là a và b, cạnh huyền là c. Khi đó, diện tích hình vuông ABCD bằng tổng diện tích của bốn tam giác vuông và diện tích hình vuông ở giữa có cạnh bằng c.

(a + b)² = 4 * (1/2 * a * b) + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

3. Ứng dụng của định lí Pythagore

Định lí Pythagore có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học:

Tính độ dài cạnh của tam giác vuông: Nếu biết độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lí Pythagore để tính độ dài cạnh còn lại.
Kiểm tra một tam giác có phải là tam giác vuông hay không: Nếu a² + b² = c², thì tam giác có ba cạnh a, b, c là một tam giác vuông.
Giải các bài toán hình học: Định lí Pythagore được sử dụng để giải nhiều bài toán liên quan đến hình học, chẳng hạn như tính chiều cao của một tam giác, tính khoảng cách giữa hai điểm, v.v.
Ứng dụng trong xây dựng và kiến trúc: Định lí Pythagore được sử dụng để đảm bảo tính vuông góc trong các công trình xây dựng và kiến trúc.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC.

Giải: Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC = √25 = 5cm

Bài 2: Một chiếc thang dài 5m được dựa vào tường. Chân thang cách tường 3m. Tính chiều cao của bức tường.

Giải: Ta có một tam giác vuông với cạnh huyền là chiều dài thang (5m) và một cạnh góc vuông là khoảng cách từ chân thang đến tường (3m). Cạnh góc vuông còn lại là chiều cao của bức tường.

Chiều cao tường² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

Chiều cao tường = √16 = 4m

5. Kết luận

Định lí Pythagore là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững định lí này và các ứng dụng của nó là rất quan trọng đối với học sinh lớp 8.