Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - Giải chi tiết SGK Toán 11 Cánh diều

Bài 4 trong chương VIII của sách Toán 11 tập 2 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, có ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

1. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp sử dụng đường thẳng vuông góc chung: Nếu có một đường thẳng d vuông góc với cả hai mặt phẳng (α) và (β), thì góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi d và hình chiếu của nó trên một trong hai mặt phẳng.
Phương pháp sử dụng vector pháp tuyến: Nếu (α) có vector pháp tuyến n₁ và (β) có vector pháp tuyến n₂, thì góc giữa hai mặt phẳng được tính bằng công thức: cos θ = |n₁ ⋅ n₂| / (||n₁|| ⋅ ||n₂||).

2. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Khi hai mặt phẳng vuông góc, chúng có những tính chất quan trọng sau:

Mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác, thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Giải:

Xác định vector pháp tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Tính góc giữa hai vector pháp tuyến.
Kết luận góc giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = MB.

Giải:

Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

4. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

5. Kết luận

Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán hình học không gian.

Hy vọng rằng, với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về nội dung của bài học này. Chúc bạn học tập tốt!