Bài 6. Phép vị tự

Bài 6. Phép vị tự - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình trong mặt phẳng, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

Kí hiệu: V_O(k)(M) = M’

2. Tính chất của phép vị tự

Bảo toàn khoảng cách: Nếu hai điểm M và N có khoảng cách MN = d thì hai điểm M’ và N’ có khoảng cách M’N’ = |k|.d
Bảo toàn góc: Phép vị tự bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song: Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng: Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y) và tâm vị tự O(x₀; y₀) với tỉ số k. Tọa độ điểm M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép vị tự V_O(k) được tính bằng công thức:

x’ = x₀ + k(x - x₀)

y’ = y₀ + k(y - y₀)

4. Ví dụ minh họa

Cho điểm A(1; 2) và tâm vị tự O(0; 0) với tỉ số k = 2. Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép vị tự V_O(2).

Giải:

x’ = 0 + 2(1 - 0) = 2

y’ = 0 + 2(2 - 0) = 4

Vậy A’(2; 4).

5. Bài tập áp dụng

Cho điểm B(-1; 3) và tâm vị tự O(1; 1) với tỉ số k = -1. Tìm tọa độ điểm B’ là ảnh của B qua phép vị tự V_O(-1).
Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1). Thực hiện phép vị tự V_O(2) với O(0; 0). Tìm tọa độ các đỉnh A’, B’, C’ của tam giác A’B’C’.

6. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực hình học và thiết kế. Nó được sử dụng để tạo ra các hình ảnh đồng dạng, phóng to hoặc thu nhỏ hình ảnh, và xây dựng các mô hình kiến trúc.

7. Mở rộng kiến thức

Để hiểu sâu hơn về phép vị tự, bạn có thể tìm hiểu thêm về các phép biến hình khác như phép tịnh tiến, phép quay, và phép đối xứng. Các phép biến hình này đều đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng hình học trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép vị tự. Chúc bạn học tập tốt!