Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Phân thức đại số là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 8, mở đầu cho việc học về các biểu thức hữu tỉ. Hiểu rõ về phân thức đại số và các tính chất cơ bản của nó là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương trình học tiếp theo.

1. Định nghĩa phân thức đại số

Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng P/Q, trong đó P và Q là các đa thức, và Q khác 0. P được gọi là tử số, Q được gọi là mẫu số.

2. Điều kiện xác định của phân thức đại số

Phân thức P/Q xác định khi và chỉ khi mẫu số Q khác 0. Việc xác định điều kiện xác định là bước quan trọng trước khi thực hiện bất kỳ phép toán nào với phân thức.

3. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Tính chất cơ bản của phân thức đại số tương tự như tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể:

Tính chất 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu. P/Q = (P.M)/(Q.M) (với M là đa thức khác 0)
Tính chất 2: Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu. P/Q = (P:M)/(Q:M) (với M là đa thức khác 0)

4. Ứng dụng của tính chất cơ bản

Tính chất cơ bản của phân thức đại số được sử dụng rộng rãi trong việc:

Rút gọn phân thức: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu để chia cả tử và mẫu cho nhân tử đó, thu được phân thức tối giản.
Quy đồng mẫu số: Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (MSC) của các phân thức, sau đó nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng để được các phân thức có cùng mẫu số.
So sánh phân thức: Quy đồng mẫu số các phân thức, sau đó so sánh các tử số.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức

(x² - 1)/(x + 1)

Ta có: x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

Vậy: (x² - 1)/(x + 1) = ((x - 1)(x + 1))/(x + 1) = x - 1 (với x ≠ -1)

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu số

Quy đồng mẫu số các phân thức: 1/x và 1/(x + 1)

Mẫu số chung nhỏ nhất là: x(x + 1)

Vậy: 1/x = (x + 1)/(x(x + 1)) và 1/(x + 1) = x/(x(x + 1))

6. Bài tập vận dụng

Rút gọn các phân thức sau: (2x² - 4x)/(x² - 2x), (x² + 2x + 1)/(x + 1)
Quy đồng mẫu số các phân thức sau: 1/(x - 1) và 1/(x + 1), 2/(x² - 1) và 1/x

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất cơ bản của phân thức đại số. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.