Bài 1. Giới hạn của dãy số

Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi số thứ tự của chúng tăng lên vô hạn.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε.

Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L

2. Các tính chất của giới hạn dãy số

Tính duy nhất: Nếu dãy số (u_n) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
Tính chất trừ: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

a. Giới hạn bằng 0

Nếu |u_n| < ε với mọi n > N, thì lim_n→∞ u_n = 0.

b. Giới hạn bằng một số thực L

Nếu |u_n - L| < ε với mọi n > N, thì lim_n→∞ u_n = L.

c. Giới hạn vô cùng

Nếu u_n > M với mọi n > N, thì lim_n→∞ u_n = +∞.

Nếu u_n < M với mọi n > N, thì lim_n→∞ u_n = -∞.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (1/n)

Ta có: Với mọi ε > 0, chọn N = 1/ε. Khi đó, với mọi n > N, ta có |1/n - 0| = 1/n < 1/N = ε. Vậy lim_n→∞ (1/n) = 0.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (2n + 1)

Dãy số (2n + 1) không có giới hạn hữu hạn. Khi n tăng lên vô hạn, 2n + 1 cũng tăng lên vô hạn. Vậy lim_n→∞ (2n + 1) = +∞.

5. Bài tập áp dụng

Tính lim_n→∞ (3n - 2)
Tính lim_n→∞ (1/n²)
Tính lim_n→∞ ((-1)ⁿ)

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.