THCS
THCS
Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về điều kiện xác định, tập giá trị, và tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021) Gọi ({u_n}) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số (left( {{u_n}} right)). b) Chứng minh rằng (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là 0. c) Từ kết qu
Đề bài
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)
Gọi \({u_n}\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
b) Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \({10^{ - 6}}\) g.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Sau một chu kì bán rã \({u_1} = 1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left( {kg} \right)\)
Sau hai chu kì bán rã \({u_2} = \frac{1}{2}.{u_1} = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {kg} \right)\)
…
Vậy sau n chu kì bán rã \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\)
b) \(\lim {u_n} = \lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\)
c) Đổi \({10^{ - 6}}g = {10^{ - 9}}kg\)
Vì chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \({10^{ - 6}}\) g nên ta có
\({u_n} < {10^{ - 9}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^n}}} < {10^{ - 9}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n > {\log _2}{10^9} \approx 29,9\)
Vậy sau 30 chu kì là 30.24 000 = 720 000 năm thì khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.
Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm về đạo hàm, dấu của đạo hàm và mối liên hệ giữa đạo hàm với tính đơn điệu của hàm số.
Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ định:
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
a) y = x3 - 3x2 + 2 trên (-∞; 1)
y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Xét trên khoảng (-∞; 1), ta có:
Vậy, hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và nghịch biến trên (0; 1).
b) y = -x3 + 3x2 - 5 trên (0; 2)
y' = -3x2 + 6x = -3x(x - 2)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Xét trên khoảng (0; 2), ta có:
Vậy, hàm số đồng biến trên (0; 2).
c) y = x2 - 4x + 3 trên (2; +∞)
y' = 2x - 4
y' = 0 ⇔ x = 2
Xét trên khoảng (2; +∞), ta có:
Vậy, hàm số đồng biến trên (2; +∞).
d) y = (x - 1)(x2 + 2x + 3) trên (-∞; -1)
y = x3 + 2x2 + 3x - x2 - 2x - 3 = x3 + x2 + x - 3
y' = 3x2 + 2x + 1
Δ = 22 - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = -8 < 0
Vì Δ < 0 và hệ số a = 3 > 0, nên y' > 0 với mọi x.
Vậy, hàm số đồng biến trên (-∞; -1).
Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và thực hành giải nhiều bài tập tương tự sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi.
Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
