Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải tích hàm số

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về điều kiện xác định, tập giá trị, và tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.

Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021) Gọi ({u_n}) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát ({u_n}) của dãy số (left( {{u_n}} right)). b) Chứng minh rằng (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là 0. c) Từ kết qu

Đề bài

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi \({u_n}\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

b) Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \({10^{ - 6}}\) g.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều 1

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Sau một chu kì bán rã \({u_1} = 1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left( {kg} \right)\)

Sau hai chu kì bán rã \({u_2} = \frac{1}{2}.{u_1} = \frac{1}{{{2^2}}}\left( {kg} \right)\)

…

Vậy sau n chu kì bán rã \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\)

b) \(\lim {u_n} = \lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\)

c) Đổi \({10^{ - 6}}g = {10^{ - 9}}kg\)

Vì chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \({10^{ - 6}}\) g nên ta có

\({u_n} < {10^{ - 9}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^n}}} < {10^{ - 9}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n > {\log _2}{10^9} \approx 29,9\)

Vậy sau 30 chu kì là 30.24 000 = 720 000 năm thì khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Bạn đang khám phá nội dung Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều trong chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán math. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Đóng góp tài liệu?

Chia sẻ kiến thức cùng cộng đồng MonToan.com.vn

Facebook Gửi Email

Thông tin mở rộng

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm về đạo hàm, dấu của đạo hàm và mối liên hệ giữa đạo hàm với tính đơn điệu của hàm số.

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ định:

a) y = x³ - 3x² + 2 trên (-∞; 1)
b) y = -x³ + 3x² - 5 trên (0; 2)
c) y = x² - 4x + 3 trên (2; +∞)
d) y = (x - 1)(x² + 2x + 3) trên (-∞; -1)

Phương pháp giải

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm y' của hàm số.
Tìm tập xác định của hàm số.
Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng được xét.

Giải chi tiết bài tập

a) y = x³ - 3x² + 2 trên (-∞; 1)

y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Xét trên khoảng (-∞; 1), ta có:

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 1: y' < 0 (hàm số nghịch biến)

Vậy, hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và nghịch biến trên (0; 1).

b) y = -x³ + 3x² - 5 trên (0; 2)

y' = -3x² + 6x = -3x(x - 2)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Xét trên khoảng (0; 2), ta có:

0 < x < 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Vậy, hàm số đồng biến trên (0; 2).

c) y = x² - 4x + 3 trên (2; +∞)

y' = 2x - 4

y' = 0 ⇔ x = 2

Xét trên khoảng (2; +∞), ta có:

x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Vậy, hàm số đồng biến trên (2; +∞).

d) y = (x - 1)(x² + 2x + 3) trên (-∞; -1)

y = x³ + 2x² + 3x - x² - 2x - 3 = x³ + x² + x - 3

y' = 3x² + 2x + 1

Δ = 2² - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = -8 < 0

Vì Δ < 0 và hệ số a = 3 > 0, nên y' > 0 với mọi x.

Vậy, hàm số đồng biến trên (-∞; -1).

Kết luận

Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và thực hành giải nhiều bài tập tương tự sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi.

Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Bài viết cùng chủ đề

Kho tài liệu Toán 11

Tổng hợp đề thi, chuyên đề và đáp án chi tiết

Tài liệu mới cập nhật