Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Cánh diều

Trong chương trình Toán 11, phần Hình học không gian, kiến thức về hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò then chốt. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.

1. Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°. Trong không gian, để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Nếu hình chiếu này vuông góc với đường thẳng kia, thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

2. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Có nhiều cách để xác định hai đường thẳng vuông góc. Dưới đây là một số điều kiện quan trọng:

• Trong mặt phẳng: Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc khi và chỉ khi tích các hệ số góc của chúng bằng -1. Ví dụ: nếu d₁ có hệ số góc k₁ và d₂ có hệ số góc k₂, thì k₁k₂ = -1.
• Trong không gian: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng vuông góc với nhau. Tức là, tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0.

3. Tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc có những tính chất đặc biệt:

• Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau, thì đường thẳng nào cũng vuông góc với hình chiếu của đường thẳng kia lên mặt phẳng chứa nó.
• Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song, thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

4. Ứng dụng của lý thuyết hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học:

• Hình học: Tính toán khoảng cách, diện tích, thể tích của các hình không gian.
• Vật lý: Phân tích các lực tác dụng lên vật thể, tính toán công thực hiện bởi lực.
• Kỹ thuật: Thiết kế các công trình xây dựng, máy móc.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d₁: y = 2x + 1 và d₂: y = -1/2x + 3. Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

Giải: Hệ số góc của d₁ là k₁ = 2 và hệ số góc của d₂ là k₂ = -1/2. Ta có k₁k₂ = 2 * (-1/2) = -1. Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

Bài tập 2: Cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (-3, 0, 1). Chứng minh rằng hai vectơ này vuông góc với nhau.

Giải: Tích vô hướng của a và b là a.b = (1)*(-3) + (2)*(0) + (3)*(1) = -3 + 0 + 3 = 0. Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

6. Lời khuyên khi học lý thuyết hai đường thẳng vuông góc

1. Nắm vững định nghĩa và điều kiện để hai đường thẳng vuông góc.
2. Hiểu rõ các tính chất của hai đường thẳng vuông góc.
3. Luyện tập giải nhiều bài tập để củng cố kiến thức.
4. Sử dụng hình vẽ để minh họa các khái niệm và bài toán.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!