Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải tích hàm số
Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải quyết.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó: a) \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;\) b) \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};\) c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.\)
Đề bài
Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;\)
b) \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};\)
c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Các hàm đa thức, hàm số lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
- Các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
- Định lí tính liên tục của tổng của hai hàm số liên tục: Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Hàm số x2 và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định
Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)
Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số cho biết tốc độ thay đổi của hàm số theo biến x.
- Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên: Bảng biến thiên giúp chúng ta xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có thể kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ minh họa:
Xét hàm số y = x2 - 4x + 3. Ta có:
- Tập xác định: D = R
- Đạo hàm: y' = 2x - 4
- Điểm tới hạn: 2x - 4 = 0 => x = 2
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y' | - | 0 | + |
| y | - | -1 | + |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Các dạng bài tập tương tự
Ngoài Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, còn rất nhiều bài tập tương tự về xét tính đơn điệu của hàm số. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm, điểm tới hạn và bảng biến thiên.
Một số dạng bài tập tương tự:
- Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba.
- Xét tính đơn điệu của hàm số phân thức.
- Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác.
Lưu ý khi giải bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số
Khi giải bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số, cần lưu ý các điểm sau:
- Xác định đúng tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm chính xác.
- Tìm đúng các điểm tới hạn.
- Lập bảng biến thiên đầy đủ và chính xác.
- Kết luận đúng về tính đơn điệu của hàm số.
Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số một cách dễ dàng và hiệu quả.
Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập Bài 4 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, các em học sinh sẽ có thêm kiến thức và kỹ năng để học tốt môn Toán.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác tại website montoan.com.vn để nâng cao kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 11.
