Chương 2 Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 2: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều

Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và tính chất của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Đây là những kiến thức nền tảng quan trọng, không chỉ cho việc học tập môn Toán ở các lớp trên mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác của khoa học và kỹ thuật.

I. Dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng. Có nhiều loại dãy số khác nhau, bao gồm dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn, dãy số tăng, dãy số giảm, và dãy số đặc biệt như dãy số Fibonacci.

• Định nghĩa dãy số: Một dãy số (u_n) là một hàm số f: N → R, với u_n = f(n)
• Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử hữu hạn.
• Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử vô hạn.

II. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai) vào số hạng đứng trước. Công thức tổng quát của cấp số cộng là u_n = u₁ + (n-1)d, trong đó u₁ là số hạng đầu tiên, d là công sai.

1. Định nghĩa cấp số cộng: Dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1, d là hằng số.
2. Công thức tổng của n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

III. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi (tỉ số). Công thức tổng quát của cấp số nhân là u_n = u₁ * q^(n-1), trong đó u₁ là số hạng đầu tiên, q là tỉ số.

• Định nghĩa cấp số nhân: Dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu u_n+1 = u_n * q với mọi n ≥ 1, q là hằng số.
• Công thức tổng của n số hạng đầu tiên:
  • Nếu q = 1: S_n = n * u₁
  • Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

IV. Ứng dụng của Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau, như:

• Tài chính: Tính lãi kép, tính giá trị tương lai của khoản đầu tư.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Tin học: Thuật toán đệ quy, phân tích độ phức tạp của thuật toán.

V. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Giải: u₁₀ = u₁ + (10-1)d = 2 + 9 * 3 = 29

Bài 2: Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tỉ số q = 2.

Giải: S₂₀ = u₁ * (1 - q²⁰) / (1 - q) = 1 * (1 - 2²⁰) / (1 - 2) = 2²⁰ - 1 = 1048575

Hy vọng rằng những kiến thức và bài tập trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Chương 2: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân trong sách giáo khoa Toán 11 - Cánh diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.