Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Dãy số trong chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, định lý và ứng dụng quan trọng của dãy số.

Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả, với nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và đi kèm với nhiều ví dụ minh họa.

I. Khái niệm

I. Khái niệm

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u: \(\left\{ {1;2;3;...;m} \right\} \to \mathbb{R}\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương \(k\left( {1 \le k \le m} \right)\) tương ứng với đúng một số \({u_k}\) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_m}\) là số hạng cuối cùng của dãy số đó.

Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u: \({\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\) được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương \(n\) tương ứng với đúng một số \({u_n}\) nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
Công thức của số hạng tổng quát.
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.
Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều trong chuyên mục Sách bài tập Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều: Tổng quan

Dãy số là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 11. Hiểu rõ về dãy số là nền tảng để tiếp cận các khái niệm nâng cao hơn như giới hạn, đạo hàm và tích phân. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết dãy số theo chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều, cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chính xác.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số u được xác định trên tập hợp các số tự nhiên khác không (N*), tức là với mỗi số tự nhiên n, ta xác định một số thực u_n. Ký hiệu: (u_n) hoặc {u_n}.

u_n được gọi là số hạng thứ n của dãy số.
u₁ được gọi là số hạng đầu của dãy số.

2. Các loại dãy số thường gặp

2.1. Dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn

Dãy số được gọi là hữu hạn nếu nó chỉ có một số hữu hạn các số hạng. Dãy số được gọi là vô hạn nếu nó có vô số các số hạng.

2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số không đổi

Một dãy số (u_n) được gọi là:

Dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ N*.
Dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ N*.
Dãy số không đổi nếu u_n+1 = u_n với mọi n ∈ N*.

2.3. Dãy số đơn điệu

Dãy số được gọi là đơn điệu tăng nếu nó vừa tăng vừa bị chặn trên. Dãy số được gọi là đơn điệu giảm nếu nó vừa giảm vừa bị chặn dưới.

3. Các dãy số đặc biệt

3.1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d). Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n - 1)d.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = n(u₁ + u_n)/2 = n[2u₁ + (n-1)d]/2

3.2. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng số hạng trước nhân với một lượng không đổi, gọi là công bội (q). Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^{(n - 1)}.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Nếu q ≠ 1: S_n = u₁(1 - qⁿ) / (1 - q)
Nếu q = 1: S_n = n * u₁

4. Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong toán học, cho phép chúng ta dự đoán giá trị của dãy số khi n tiến tới vô cùng.

Nếu tồn tại một số thực L sao cho với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε, thì ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là L, ký hiệu lim_n→∞u_n = L.

5. Ứng dụng của lý thuyết dãy số

Lý thuyết dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính lãi kép
Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số
Phân tích các hiện tượng tự nhiên

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về lý thuyết dãy số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu là 2 và công sai là 3.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là 2.
Tính giới hạn của dãy số (n² + 1) / (2n² + 3).

Kết luận

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về lý thuyết dãy số theo chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế.