Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu song song

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - SGK Toán 11 Cánh Diều

Chương VIII của sách Toán 11 Cánh Diều tập trung vào một trong những chủ đề quan trọng nhất của hình học không gian: Quan hệ vuông góc trong không gian và Phép chiếu song song. Việc nắm vững kiến thức trong chương này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo.

I. Khái niệm về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

• Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

II. Khái niệm về hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần tìm một đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng.

• Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.

III. Phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một phép biến hình quan trọng trong hình học không gian. Phép chiếu song song biến mỗi điểm của không gian thành một điểm trên một mặt phẳng cho trước theo quy tắc song song.

• Định nghĩa: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d là phép biến hình biến mỗi điểm M của không gian thành điểm M’ sao cho MM’ song song với d và M’ thuộc (P).
• Tính chất: Phép chiếu song song bảo toàn tỷ số giữa các đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng.

IV. Ứng dụng của quan hệ vuông góc và phép chiếu song song

Các kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian và phép chiếu song song có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
• Giải các bài toán về hình chiếu của một vật thể lên một mặt phẳng.

V. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
2. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
3. Trong tam giác SAC, ta có tan góc SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
4. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc SCA và có giá trị là arctan(1/√2).

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian, bạn nên:

• Đọc kỹ lý thuyết trong SGK.
• Làm đầy đủ các bài tập trong SGK và sách bài tập.
• Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo khác.
• Thực hành giải các bài toán khó để rèn luyện kỹ năng.

Montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp, bạn sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.