THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và ứng dụng của lý thuyết này. Mục tiêu là giúp bạn hiểu rõ bản chất và có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
1. Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), kí hiệu \(d \bot \left( P \right)\) hoặc \(\left( P \right) \bot d\).
1. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), kí hiệu \(d \bot \left( P \right)\) hoặc \(\left( P \right) \bot d\).
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Nhận xét: Ta có thể chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
3. Tính chất
- Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chất 3:
Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- Tính chất 4:
Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
5. Phép chiếu vuông góc
Cho mặt phẳng (P) và một điểm M tuỳ ý trong không gian. Lấy đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P), gọi giao điểm của d và (P) là M’. Điểm M’ gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm M trên (P).
Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M’ của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
6. Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đóng vai trò then chốt. Nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về quan hệ không gian.
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong (P).
Có nhiều dấu hiệu để nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Một số dấu hiệu quan trọng bao gồm:
Hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng là điểm nằm trên mặt phẳng đó sao cho đoạn thẳng nối điểm đó với điểm ban đầu vuông góc với mặt phẳng. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng trên một mặt phẳng là tập hợp các hình chiếu vuông góc của các điểm trên đường thẳng đó.
Các bài toán liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường yêu cầu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh SA vuông góc với BD.
Giải: Vì SA vuông góc với (ABCD) mà BD nằm trong (ABCD) nên SA vuông góc với BD.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (ADD'A').
Giải: Ta có AC vuông góc với AD và AC vuông góc với AA'. Do đó, AC vuông góc với mặt phẳng (ADD'A').
Để nắm vững lý thuyết này, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu bạn gặp khó khăn.
Ngoài lý thuyết cơ bản, bạn có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong thực tế, chẳng hạn như trong kiến trúc, xây dựng hoặc hàng không.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
