Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải tích chi tiết
Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều trên montoan.com.vn. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến chủ đề được đề cập trong sách giáo khoa.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là (C(Q) = {Q^2} + 80Q + 3500)
Đề bài
Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là \(C(Q) = {Q^2} + 80Q + 3500\).
a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C’(Q). Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm C’(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.
c) Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa: \(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm chi phí biên là:
\(C'(Q) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Q}} = \frac{{C(Q + \Delta Q) - C(Q)}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{{{\left( {Q + \Delta Q} \right)}^2} + 80\left( {Q + \Delta Q} \right) + 3500 - \left( {{Q^2} + 80Q + 3500} \right)}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{{Q^2} + 2Q.\Delta Q + \Delta {Q^2} + 80Q + 80\Delta Q + 3500 - {Q^2} - 80Q - 3500}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{2Q.\Delta Q + \Delta {Q^2} + 80\Delta Q}}{{\Delta Q}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \frac{{\Delta Q\left( {2Q + \Delta Q + 80} \right)}}{{\Delta Q}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Q \to 0} \left( {2Q + \Delta Q + 80} \right) = 2Q + 0 + 80 = 2Q + 80\).
b) C'(90) = 2.90 + 80 = 260 (USD).
Ý nghĩa kết quả tìm được: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là 260 (USD).
c) Chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ 100 là: \(C(100) = {100^2} + 80.100 + 3500 = 143000\) (USD).
Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải chi tiết và phân tích chuyên sâu
Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Nội dung bài toán
Bài 4 thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm f'(x).
- Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
- Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng: Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
- Kết luận về tính đơn điệu: Dựa vào dấu của đạo hàm để kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta sẽ giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số này:
- Tập xác định: R
- Đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
- Điểm tới hạn: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Xét dấu đạo hàm:
- Trên khoảng (-∞; 0): f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến
- Trên khoảng (0; 2): f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến
- Trên khoảng (2; +∞): f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Lưu ý quan trọng
Khi giải bài toán xét tính đơn điệu, cần chú ý đến các điểm không xác định của đạo hàm và các điểm không thuộc tập xác định của hàm số. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số có thể giúp bạn kiểm tra lại kết quả và hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số.
Ứng dụng của việc xét tính đơn điệu
Việc xét tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để tìm cực trị của hàm số, giải các bài toán tối ưu hóa và phân tích sự thay đổi của các đại lượng trong thực tế.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều hoặc các tài liệu tham khảo khác. Hãy nhớ áp dụng các bước giải đã trình bày ở trên và kiểm tra lại kết quả của mình.
Tổng kết
Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài toán quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng rằng bài giải chi tiết và phân tích chuyên sâu này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Xác định tập xác định |
| 2 | Tính đạo hàm |
| 3 | Tìm điểm tới hạn |
| 4 | Xét dấu đạo hàm |
| 5 | Kết luận tính đơn điệu |
