THCS
THCS
Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải quyết.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)), biết:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\)
b) \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\)
c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào định nghĩa tính tăng, giảm của dãy số để xác định
Lời giải chi tiết
a) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Dãy số là dãy số tăng
b) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 - 2n - 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { - 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Dãy số là dãy số giảm
c) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( { - 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {2^n} - 1} \right]\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {2^{n + 1}} - 1 - {2^n} - 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {{3.2}^n} - 2} \right)\end{array}\)
=> Dãy số không tăng không giảm
Bài 3 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp một, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, và sau đó xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
1. Tập xác định: Hàm số y = 2x3 - 3x2 + 1 có tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực).
2. Đạo hàm cấp một: y' = 6x2 - 6x
3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được 6x2 - 6x = 0 => 6x(x - 1) = 0 => x = 0 hoặc x = 1.
4. Xét dấu đạo hàm:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 1).
1. Tập xác định: Hàm số y = x4 - 4x2 + 4 có tập xác định là R.
2. Đạo hàm cấp một: y' = 4x3 - 8x
3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được 4x3 - 8x = 0 => 4x(x2 - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = ±√2.
4. Xét dấu đạo hàm:
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -√2) và (0; √2), đồng biến trên các khoảng (-√2; 0) và (√2; +∞).
Để hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số, các em cần nắm vững các khái niệm sau:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.
