Giải mục 3 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải mục 3 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 55, 56 sách giáo khoa Toán 11 tập 1 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có số hạng đầu ({u_1}), công bội (q ne 1) Đặt ({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}})
HĐ 3
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q \ne 1\)
Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}\)
a) Tính \({S_n}.q\) và \({S_n} - {S_n}.q\)
b) Từ đó, hãy tìm công thức tính \({S_n}\) theo \({u_1}\) và q
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức tính cấp số cộng để tính
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)
\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)
b) Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)
LT - VD 4
Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:
a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12.
b) \(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...\) với n = 5.
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với \(u_1 = 3\) và công bội q = – 2.
Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:
\(S_{12}=\frac{3(1−(−2)^{12})}{1−(−2)} = -4095 \).
b) Ta có: \(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...\) là một cấp số nhân với \(u_1 = \frac{1}{10} \) và công bội \(q=\frac{1}{10}\).
Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:
\(S_5=\frac{\frac{1}{10}(1-(\frac{1}{10})^5)}{1−\frac{1}{10}}= 0,1111\).
Giải mục 3 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Tổng quan và Phương pháp giải
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 1 Cánh Diều thường xoay quanh các chủ đề về phép biến hình, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương tiếp theo của môn Toán 11.
1. Phép Tịnh Tiến
Phép tịnh tiến là một phép biến hình quan trọng trong hình học. Để giải các bài tập liên quan đến phép tịnh tiến, học sinh cần hiểu rõ định nghĩa, tính chất và cách xác định ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép tịnh tiến.
- Định nghĩa: Phép tịnh tiến là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho vector MM' = v (với v là vector tịnh tiến).
- Tính chất: Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Cách xác định ảnh: Để tìm ảnh của một điểm M qua phép tịnh tiến theo vector v, ta thực hiện phép cộng vector: M' = M + v.
2. Phép Quay
Phép quay là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho khoảng cách từ M đến tâm quay O bằng khoảng cách từ M' đến tâm quay O và góc MOM' bằng góc quay α.
- Định nghĩa: Phép quay tâm O góc α là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc MOM' = α.
- Tính chất: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Cách xác định ảnh: Việc xác định ảnh của một điểm qua phép quay đòi hỏi kiến thức về lượng giác và tọa độ điểm.
3. Phép Đối Xứng Trục
Phép đối xứng trục là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho M và M' đối xứng nhau qua trục d.
- Định nghĩa: Phép đối xứng trục d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.
- Tính chất: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Cách xác định ảnh: Để tìm ảnh của một điểm M qua phép đối xứng trục d, ta tìm điểm M' sao cho d là đường trung trực của MM'.
4. Phép Đối Xứng Tâm
Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho M và M' đối xứng nhau qua tâm O.
- Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'.
- Tính chất: Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Cách xác định ảnh: Để tìm ảnh của một điểm M qua phép đối xứng tâm O, ta tìm điểm M' sao cho O là trung điểm của MM'.
5. Bài tập minh họa và phương pháp giải
Bài tập 1: Cho điểm A(1; 2) và vector tịnh tiến v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vector v.
Giải: A' = A + v = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1).
Bài tập 2: Cho điểm B(2; -3) và tâm quay O(0; 0) với góc quay 90 độ. Tìm tọa độ điểm B' là ảnh của B qua phép quay tâm O góc 90 độ.
Giải: Sử dụng công thức quay điểm quanh gốc tọa độ: B' = (-y; x) = (3; 2).
6. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về các phép biến hình, học sinh cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc hiểu rõ bản chất của từng phép biến hình và áp dụng linh hoạt các công thức sẽ giúp các em giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Montoan.com.vn hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về mục 3 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
