Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cánh Diều
Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các phép biến đổi lượng giác trong chương trình Toán 11 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các công thức biến đổi lượng giác, cách áp dụng chúng vào việc đơn giản hóa biểu thức và giải phương trình lượng giác.
I. Công thức cộng
I. Công thức cộng
\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos asinb\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)
II. Công thức nhân đôi
\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)
Suy ra, công thức hạ bậc:
\({\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2},{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)
III. Công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)
IV. Công thức biến đổi tổng thành tích
\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)
Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cánh Diều
Trong chương trình Toán 11, phần lượng giác đóng vai trò quan trọng, và các phép biến đổi lượng giác là công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về các phép biến đổi lượng giác theo SGK Toán 11 Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào thực tế.
1. Các công thức lượng giác cơ bản
Trước khi đi vào các phép biến đổi, chúng ta cần ôn lại các công thức lượng giác cơ bản:
- sin2x + cos2x = 1
- tan x = sin x / cos x
- cot x = cos x / sin x
- 1 + tan2x = 1/cos2x
- 1 + cot2x = 1/sin2x
2. Các phép biến đổi lượng giác
Các phép biến đổi lượng giác thường được sử dụng bao gồm:
- Công thức cộng và hiệu lượng giác:
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
- cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
- cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
- tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)
- tan(a - b) = (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b)
- Công thức nhân đôi:
- sin 2a = 2 sin a cos a
- cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
- tan 2a = 2 tan a / (1 - tan2a)
- Công thức hạ bậc:
- sin2a = (1 - cos 2a) / 2
- cos2a = (1 + cos 2a) / 2
- tan2a = (1 - cos 2a) / (1 + cos 2a)
- Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích:
- 2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a - b)
- 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a - b)
- 2 sin a sin b = cos(a - b) - cos(a + b)
- sin a + sin b = 2 sin((a + b) / 2) cos((a - b) / 2)
- sin a - sin b = 2 cos((a + b) / 2) sin((a - b) / 2)
- cos a + cos b = 2 cos((a + b) / 2) cos((a - b) / 2)
- cos a - cos b = -2 sin((a + b) / 2) sin((a - b) / 2)
3. Ứng dụng của các phép biến đổi lượng giác
Các phép biến đổi lượng giác có nhiều ứng dụng trong việc giải toán:
- Đơn giản hóa biểu thức lượng giác: Sử dụng các công thức để biến đổi biểu thức phức tạp thành dạng đơn giản hơn, dễ dàng tính toán.
- Giải phương trình lượng giác: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản để tìm nghiệm.
- Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt: Sử dụng các công thức để tính giá trị lượng giác của các góc không thuộc bảng giá trị lượng giác.
- Chứng minh đẳng thức lượng giác: Biến đổi một vế của đẳng thức về dạng tương đương với vế còn lại.
4. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giá trị của sin 75o.
Ta có: sin 75o = sin(45o + 30o) = sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức cos2x - sin2x = cos 2x.
Ta có: cos2x - sin2x = cos2x - (1 - cos2x) = 2cos2x - 1 = cos 2x (đpcm)
5. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập về các phép biến đổi lượng giác, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn cung cấp nhiều bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện và nâng cao khả năng của mình.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
