Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải tích chi tiết
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về giới hạn hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
montoan.com.vn cung cấp lời giải dễ hiểu, kèm theo phương pháp giải và các bài tập tương tự để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tính các giới hạn sau: a) (lim frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}}) b) (lim frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{ - 3{n^3} + 5{n^2} - 2}}); c) (lim frac{{sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}}); d) (lim left( {4 - frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} right)) e) (lim frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}}) g) (lim frac{{2 + frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}}).
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}}\)
b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{ - 3{n^3} + 5{n^2} - 2}}\);
c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}}\);
d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} \right)\)
e) \(\lim \frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}}\)
g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp:
Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b, c.
Chia cả tử và mẫu cho \({a^n}\), với a là cơ số lớn nhất trong biểu thức đối với câu d, e.
Sử dụng giới hạn của một tích đối với câu g.
Lời giải chi tiết
a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {8 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n}}}{{8 + \frac{5}{n}}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{ - 3{n^3} + 6{n^2} - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( { - 3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{ - 3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{0 - 0 + 0}}{{ - 3 + 0 - 0}} = 0\).
c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}} = \lim \frac{{n\sqrt {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {8 - \frac{5}{n}} \right)}} = \frac{{\sqrt {4 - 0 + 0} }}{{8 - 0}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{3^{\rm{n}}}}}} \right) = \lim \left( {4 - 2 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\rm{n}}}} \right) = 4 - 2.0 = 4\).
e) \(\lim \frac{{{{4.5}^{\rm{n}}} + {2^{{\rm{n}} + 2}}}}{{{{6.5}^{\rm{n}}}}} = \lim \frac{{{{4.5}^{\rm{n}}} + {2^2}{{.2}^{\rm{n}}}}}{{{{6.5}^{\rm{n}}}}} = \lim \frac{{{5^n}.\left[ {4 + 4.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\rm{n}}}} \right]}}{{{{6.5}^n}}} = \lim \frac{{4 + 4.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\rm{n}}}}}{6} = \frac{{4 + 4.0}}{6} = \frac{2}{3}\).
g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^{\rm{n}}}}} = \lim \left( {2 + \frac{4}{{{{\rm{n}}^3}}}} \right).\lim {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{\rm{n}}} = \left( {2 + 0} \right).0 = 0\).
Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số, cũng như các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Nội dung bài toán
Bài toán cụ thể yêu cầu tính các giới hạn sau (ví dụ):
- lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
- lim (x→0) sin(x) / x
- lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)
Phương pháp giải
Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phân tích thành nhân tử: Đối với các biểu thức chứa đa thức, chúng ta có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn biểu thức và loại bỏ các yếu tố gây khó khăn trong việc tính giới hạn.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt: Các giới hạn đặc biệt như lim (sin(x) / x) = 1 khi x→0, lim (1 + a/n)^n = e khi n→∞, có thể được sử dụng để đơn giản hóa việc tính giới hạn.
- Chia cả tử và mẫu cho x: Đối với các giới hạn tại vô cùng, chúng ta có thể chia cả tử và mẫu cho x để đưa về dạng giới hạn quen thuộc.
- Áp dụng quy tắc L'Hôpital: Nếu giới hạn có dạng 0/0 hoặc ∞/∞, chúng ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn bằng cách lấy đạo hàm của tử và mẫu.
Giải chi tiết Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Ví dụ 1: Tính lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Ta có thể phân tích x^2 - 4 thành (x - 2)(x + 2). Do đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
Ví dụ 2: Tính lim (x→0) sin(x) / x
Đây là một giới hạn đặc biệt, ta có:
lim (x→0) sin(x) / x = 1
Ví dụ 3: Tính lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)
Ta chia cả tử và mẫu cho x:
lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
- lim (x→3) (x^2 - 9) / (x - 3)
- lim (x→0) cos(x) - 1 / x
- lim (x→∞) (3x^2 + 2x - 1) / (x^2 + 5)
Kết luận
Bài 2 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính giới hạn hàm số. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp tính giới hạn là điều cần thiết để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
| Bài tập | Lời giải |
|---|---|
| lim (x→3) (x^2 - 9) / (x - 3) | 6 |
| lim (x→0) cos(x) - 1 / x | 0 |
| lim (x→∞) (3x^2 + 2x - 1) / (x^2 + 5) | 3 |
