Bài 5 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 5 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải tích hàm số
Bài 5 thuộc chương trình giải tích hàm số lớp 11, tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về đặc điểm và tính chất của các hàm số khác nhau.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
Đề bài
Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) \(y = \sin x\cos x\)
b) \(y = \tan x + \cot x\)
c) \(y = {\sin ^2}x\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào tính chẵn, lẻ của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).\cos \left( { - x} \right) = - \sin x.\cos x\\f\left( x \right) = \sin x.\cos x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
ð Hàm số \(y = \sin x\cos x\) là hàm số lẻ
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + \cot \left( { - x} \right) = - \tan x - \cot x\\f\left( x \right) = \tan x + \cot x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
ð Hàm số \(y = \tan x + \cot x\) là hàm số lẻ
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) = {\left( { - \sin \left( x \right)} \right)^2} = {\sin ^2}x\\f\left( x \right) = {\sin ^2}x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
ð Hàm số \(y = {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn
Bài 5 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 5 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên một khoảng cho trước. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm f'(x): Đây là bước quan trọng để xác định tính đơn điệu của hàm số.
- Xét dấu đạo hàm f'(x):
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a, b).
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a, b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b).
- Nếu f'(x) = 0 tại một điểm x0 thuộc khoảng (a, b) thì x0 là điểm cực trị của hàm số.
- Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm, kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng xác định.
Ví dụ minh họa
Xét hàm số y = x2 - 2x + 3. Ta có:
- Tập xác định: D = ℝ
- Đạo hàm: y' = 2x - 2
Xét dấu y':
- y' > 0 khi 2x - 2 > 0 ⇔ x > 1
- y' < 0 khi 2x - 2 < 0 ⇔ x < 1
Vậy hàm số y = x2 - 2x + 3 đồng biến trên khoảng (1, +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞, 1).
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, các em có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 6 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Bài 7 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
- Các bài tập khác trong chương trình giải tích hàm số lớp 11.
Lưu ý quan trọng
Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Việc xét dấu đạo hàm một cách chính xác là yếu tố then chốt để đưa ra kết luận đúng về tính đơn điệu của hàm số.
Ứng dụng của việc xét tính đơn điệu
Việc xét tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, chẳng hạn như:
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Giải các bài toán tối ưu hóa.
- Phân tích sự thay đổi của các đại lượng trong thực tế.
Tổng kết
Bài 5 trang 31 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số. Bằng cách nắm vững các bước giải và áp dụng các ví dụ minh họa, các em có thể tự tin giải các bài tập tương tự và ứng dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế.
