Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) có đạo hàm, đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc y''.

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cho ta biết:

• Độ lồi - lõm của đồ thị hàm số:
• Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
• Điểm uốn: Điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc từ lõm sang lồi.

3. Quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một f'(x).
2. Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ - 3x² + 2x - 1

Giải:

1. Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x + 2
2. Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6

Ví dụ 2: Tìm khoảng mà đồ thị hàm số y = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 lồi và lõm.

Giải:

1. Tính đạo hàm cấp một: y' = 4x³ - 12x² + 12x - 4
2. Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 12x² - 24x + 12 = 12(x - 1)²
3. Vì y'' = 12(x - 1)² ≥ 0 với mọi x, đồ thị hàm số lồi trên R.

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

• Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x)
• Bài 2: Tìm khoảng mà đồ thị hàm số y = x³ - 6x² + 9x + 1 lồi và lõm.
• Bài 3: Xác định các điểm uốn của đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² + 1

6. Kết luận

Bài học về đạo hàm cấp hai cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng trong việc phân tích và hiểu rõ hơn về các hàm số. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm một cách hiệu quả và chính xác.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!