Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai trong chương trình Toán 11 Cánh diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng về đạo hàm cấp hai, ý nghĩa và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, công thức tính đạo hàm cấp hai, các quy tắc tính đạo hàm và cách áp dụng chúng vào việc phân tích hàm số.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) tại mọi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số y’ = f’(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).
2. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai s”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều
Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của một hàm số. Nó cung cấp thông tin quan trọng về độ cong của đồ thị hàm số và tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất.
1. Định nghĩa Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của f'(x). Tức là:
f''(x) = (f'(x))'
Nếu f''(x) tồn tại tại một điểm x0, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai tại x0.
2. Công thức tính Đạo hàm cấp hai
Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện tuần tự các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc nhất f'(x).
- Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).
Ví dụ:
Cho hàm số y = x3 + 2x2 - 5x + 1
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
f''(x) = 6x + 4
3. Quy tắc tính Đạo hàm cấp hai
Các quy tắc tính đạo hàm bậc nhất vẫn được áp dụng để tính đạo hàm cấp hai. Cụ thể:
- Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)'' = u'' ± v''
- Quy tắc đạo hàm của tích: (uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
- Quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)'' = (u''v - 2u'v' + uv'') / v2
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))'' = f''(g(x)) * g'(x) + f'(g(x)) * g''(x)
4. Ý nghĩa của Đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai cung cấp thông tin về:
- Độ cong của đồ thị hàm số:
- Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
- Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
- Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn.
- Tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất: f''(x) cho biết đạo hàm bậc nhất f'(x) đang tăng hay giảm.
5. Ứng dụng của Đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
- Vật lý: Tính gia tốc (đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian).
- Kinh tế: Phân tích chi phí biên và doanh thu biên.
- Tối ưu hóa: Tìm điểm cực trị của hàm số.
6. Bài tập ví dụ
Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x)
Giải:
f'(x) = 2cos(2x)
f''(x) = -4sin(2x)
Bài 2: Tìm khoảng mà hàm số y = x4 - 2x2 + 1 lồi.
Giải:
f'(x) = 4x3 - 4x
f''(x) = 12x2 - 4
f''(x) > 0 khi 12x2 - 4 > 0 => x2 > 1/3 => x < -1/√3 hoặc x > 1/√3
Vậy hàm số lồi trên các khoảng (-∞, -1/√3) và (1/√3, +∞).
7. Kết luận
Lý thuyết Đạo hàm cấp hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!
