Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Cánh diều

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của một hàm số. Nó cung cấp thông tin quan trọng về độ cong của đồ thị hàm số và tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất.

1. Định nghĩa Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của f'(x). Tức là:

f''(x) = (f'(x))'

Nếu f''(x) tồn tại tại một điểm x₀, ta nói hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai tại x₀.

2. Công thức tính Đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện tuần tự các bước sau:

1. Tính đạo hàm bậc nhất f'(x).
2. Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Ví dụ:

Cho hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 1

f'(x) = 3x² + 4x - 5

f''(x) = 6x + 4

3. Quy tắc tính Đạo hàm cấp hai

Các quy tắc tính đạo hàm bậc nhất vẫn được áp dụng để tính đạo hàm cấp hai. Cụ thể:

• Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)'' = u'' ± v''
• Quy tắc đạo hàm của tích: (uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
• Quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)'' = (u''v - 2u'v' + uv'') / v²
• Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))'' = f''(g(x)) * g'(x) + f'(g(x)) * g''(x)

4. Ý nghĩa của Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cung cấp thông tin về:

• Độ cong của đồ thị hàm số:
• Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
• Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn.
• Tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất: f''(x) cho biết đạo hàm bậc nhất f'(x) đang tăng hay giảm.

5. Ứng dụng của Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Vật lý: Tính gia tốc (đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian).
• Kinh tế: Phân tích chi phí biên và doanh thu biên.
• Tối ưu hóa: Tìm điểm cực trị của hàm số.

6. Bài tập ví dụ

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x)

Giải:

f'(x) = 2cos(2x)

f''(x) = -4sin(2x)

Bài 2: Tìm khoảng mà hàm số y = x⁴ - 2x² + 1 lồi.

Giải:

f'(x) = 4x³ - 4x

f''(x) = 12x² - 4

f''(x) > 0 khi 12x² - 4 > 0 => x² > 1/3 => x < -1/√3 hoặc x > 1/√3

Vậy hàm số lồi trên các khoảng (-∞, -1/√3) và (1/√3, +∞).

7. Kết luận

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!