THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào các kiến thức về giới hạn của hàm số.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (left( {0 le t < 24} right)) cho bởi công thức (h = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12). Tìm t để độ sâu của mực nước là
Đề bài
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày \(\left( {0 \le t < 24} \right)\) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\). Tìm t để độ sâu của mực nước là
a) 15m
b) 9m
c) 10,5m
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos
Lời giải chi tiết
a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì: \[ h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 15 \] \[ \Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = 1 \] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ \Leftrightarrow t = -\frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq -\frac{6}{\pi} + 12k < 24\) \[ \Leftrightarrow \frac{6}{\pi} \leq 12k < 24 + \frac{6}{\pi} \] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi} \leq k < 2 + \frac{1}{2\pi} \] Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{1; 2\}\).
Với \(k = 1\) thì \(t = -\frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 10,09\) (giờ);
Với \(k = 2\) thì \(t = -\frac{6}{\pi} + 12.2 \approx 22,09\) (giờ).
Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.
b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:
\[h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 9\]
\[\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = -1\]
\[\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
\[\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})\]
Do \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq 6 - \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)
\[\Leftrightarrow -6 + \frac{6}{\pi} \leq 12k < 18 + \frac{6}{\pi}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \leq k < \frac{3}{2} + \frac{1}{2\pi}\]
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\).
Với \(k = 0\) thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.0 \approx 4,09\) (giờ);
Với \(k = 1\) thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 16,09\) (giờ).
Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.
c) Để độ sâu của mực nước là $10,5 \mathrm{~m}$ thì:$$\begin{aligned}& h=3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5 \\& \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2} \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi \\\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=-\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi\end{array} \quad(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=4-\frac{6}{\pi}+12 k \\t=-4-\frac{6}{\pi}+12 k(2)\end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\&\end{aligned}$$
- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (1) ta có: $0 \leq 4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$$$\begin{aligned}& \Leftrightarrow-4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<20+\frac{6}{\pi} \\& \Leftrightarrow-\frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2 \pi}\end{aligned}$$
Mà $k \in Z$ nên $k \in\{0 ; 1\}$.Với k $=0$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.0 \approx 2,09$ (giờ);Với k $=1$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 14,09$ (giờ).- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (2) ta có: $0 \leq-4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$$$\begin{aligned}& \Leftrightarrow 4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<28+\frac{6}{\pi} \\& \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2 \pi}\end{aligned}$$
Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in\{1 ; 2\}$.Với k $=1$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 6,09$ (giờ);Với k $=2$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.2 \approx 18,09$ (giờ).Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là $10,5 \mathrm{~m}$.
Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải các bài toán cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết từng phần của bài tập, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em hiểu rõ bản chất của vấn đề.
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử thức thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
Lời giải: Tương tự, ta phân tích tử thức thành (x + 1)(x^2 - x + 1). Khi đó:
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 3
lim (x→0) sin(x) / x
Lời giải: Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta biết rằng lim (x→0) sin(x) / x = 1
lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được:
lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2
lim (x→∞) (x^2 + 1) / (x^2 + 2x + 3)
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x^2, ta được:
lim (x→∞) (x^2 + 1) / (x^2 + 2x + 3) = lim (x→∞) (1 + 1/x^2) / (1 + 2/x + 3/x^2) = (1 + 0) / (1 + 0 + 0) = 1
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
Giới hạn là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm số liên tục, đạo hàm, tích phân và nhiều khái niệm toán học khác. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn về các khái niệm toán học nâng cao và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Các em có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập khác, các bài giảng trực tuyến hoặc tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên để nâng cao kiến thức về giới hạn và các ứng dụng của nó.
