THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng nhất của giải tích, mở ra cánh cửa cho việc nghiên cứu sự thay đổi và tốc độ biến thiên của các hàm số.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn một cách tiếp cận toàn diện, từ định nghĩa đạo hàm, cách tính đạo hàm, đến việc hiểu ý nghĩa hình học của đạo hàm thông qua đồ thị hàm số. Chúng tôi sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách dễ dàng và hiệu quả.
1. Định nghĩa - Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
1. Định nghĩa
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\)tại \({x_0}\) và được kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y{'_{x_o}}\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_0}\), ta lần lượt thực hiện ba bước sau:
Bước 1. Xét \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).
Tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2. Rút gọn tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Kết luận: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a\).
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, và các ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều.
Giả sử hàm số f(x) được xác định trên khoảng (a; b). Nếu tồn tại giới hạn:
limh→0f(x + h) - f(x) / h
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x) hoặc df/dx.
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó.
Đạo hàm f'(x) tại điểm x có ý nghĩa hình học là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x.
Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến cho biết độ dốc của đường thẳng này.
Nếu f'(x) > 0, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b). Nếu f'(x) < 0, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b). Nếu f'(x) = 0, hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại điểm x.
Để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = c (hằng số) | f'(x) = 0 |
| f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 |
| f(x) = sin x | f'(x) = cos x |
| f(x) = cos x | f'(x) = -sin x |
| f(x) = ex | f'(x) = ex |
| f(x) = ln x | f'(x) = 1/x |
Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
Giải:f'(x) = 6x + 2
Bài 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x3 tại điểm x = 2
Giải:f'(x) = 3x2. Vậy, f'(2) = 3 * 22 = 12. Hệ số góc của tiếp tuyến là 12.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
