THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 6 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc ôn tập chương 3 về đạo hàm của hàm số.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải bài tập Toán 11 chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát
Đề bài
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 3\), trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet
a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s)
b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào hàm số đạo hàm để tìm từng đại lượng sau đó thay số
Lời giải chi tiết
a) Vận tốc tức thời của con lắc: \(v(t) = - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
Gia tốc tức thời của con lắc: \(a(t) = - 4{\pi ^2}\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
b) Tại vận tốc tức thời của con lắc bằng 0, ta có:
\( - 4\pi \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\)
Với \(t = \frac{2}{3} \Rightarrow a(t) = - \,4{\pi ^2}\cos \left( {\pi .\frac{2}{3} - \frac{2}{3}\pi } \right) = - \,4{\pi ^2}\)
Bài 6 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến tính đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Để giải câu a, ta cần tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Sau đó, ta xét dấu đạo hàm f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Tương tự như câu a, ta tính đạo hàm của hàm số g(x) = x4 - 4x3 + 4x2 + 1. Sau đó, xét dấu đạo hàm g'(x) để xác định tính đơn điệu của hàm số.
g'(x) = 4x3 - 12x2 + 8x = 4x(x2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)
g'(x) = 0 khi x = 0, x = 1 hoặc x = 2.
Xét dấu g'(x) trên các khoảng:
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (1; 2), đồng biến trên các khoảng (0; 1) và (2; +∞).
Để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số h(x) = (x - 1)(x2 + 3x + 1), ta thực hiện các bước sau:
h(x) = x3 + 3x2 + x - x2 - 3x - 1 = x3 + 2x2 - 2x - 1
h'(x) = 3x2 + 4x - 2
Giải phương trình 3x2 + 4x - 2 = 0, ta được x1 = (-2 + √10)/3 và x2 = (-2 - √10)/3.
Xét dấu h'(x) tại các khoảng xác định bởi x1 và x2, ta có thể xác định được điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
Bài 6 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số. Việc nắm vững các kiến thức này là nền tảng để học tốt các bài học tiếp theo trong chương trình Giải tích.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
