Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải tích chi tiết
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào các kiến thức về giới hạn của hàm số.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau:
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
b) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)
c) \(\sin 3x - \cos 5x = 0\)
d) \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\)
e) \(\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\)
f) \(\sin x + \cos x = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức nghiệm của phương trình lượng giác
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k4\pi }}{3}\\x = \frac{{ - 7\pi }}{{18}} + \frac{{k4\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
c)
\(\begin{array}{l}\sin 3x - \cos 5x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 3x = \cos 5x\\ \Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\\\cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
e)
\(\begin{array}{l}\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}.\sin x - \sin \frac{\pi }{3}.\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin 0\\ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi ;k \in Z\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ;k \in Z\end{array}\)
f)
\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{4}.\sin x + \sin \frac{\pi }{4}.\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin 0\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi ;k \in Z\\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\end{array}\)
Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính toán và chứng minh. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Phần 1: Tính các giới hạn sau
a) limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Để tính giới hạn này, ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:
(x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2)
Khi x ≠ 2, ta có thể rút gọn biểu thức thành (x + 2). Do đó:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
b) limx→3 (x3 - 27) / (x - 3)
Tương tự như phần a, ta phân tích tử thức:
(x3 - 27) / (x - 3) = (x - 3)(x2 + 3x + 9) / (x - 3)
Khi x ≠ 3, ta rút gọn thành (x2 + 3x + 9). Do đó:
limx→3 (x3 - 27) / (x - 3) = limx→3 (x2 + 3x + 9) = 32 + 3*3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27
c) limx→1 (x4 - 1) / (x - 1)
Phân tích tử thức:
(x4 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) / (x - 1)
Khi x ≠ 1, ta rút gọn thành (x3 + x2 + x + 1). Do đó:
limx→1 (x4 - 1) / (x - 1) = limx→1 (x3 + x2 + x + 1) = 13 + 12 + 1 + 1 = 4
Phần 2: Tính các giới hạn sau
a) limx→0 (√x + 1 - 1) / x
Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:
(√x + 1 - 1) / x = (√x + 1 - 1) / x * (√x + 1 + 1) / (√x + 1 + 1) = (x - 1) / (x(√x + 1 + 1))
Tuy nhiên, cách tiếp cận này không đúng. Ta cần sử dụng phương pháp khác. Ta có thể sử dụng định lý giới hạn:
limx→0 (√x + 1 - 1) / x = limx→0 (√x + 1 - 1) / (x - 0)
Đặt f(x) = √x + 1. Khi đó f'(x) = 1 / (2√x). Áp dụng quy tắc L'Hopital:
limx→0 (√x + 1 - 1) / x = limx→0 1 / (2√x) = ∞
b) limx→0 (sin x) / x
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta biết rằng:
limx→0 (sin x) / x = 1
Phần 3: Ứng dụng của giới hạn trong thực tế
Giới hạn của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, bao gồm:
- Vật lý: Tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời.
- Kinh tế: Tính đạo hàm của hàm chi phí, hàm doanh thu.
- Tin học: Phân tích thuật toán, đánh giá độ phức tạp của thuật toán.
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn là nền tảng quan trọng để học tập các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích.
