Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải tích chi tiết
Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều trên website montoan.com.vn. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến chủ đề này.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
Đề bài
Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 10\)
b) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
c) \(y = - 2x\sqrt x \)
d) \(y = 3\sin x + 4\cos x - \tan x\)
e) \(y = {4^x} + 2{e^x}\)
f) \(y = x\ln x\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào các quy tắc tính đạo hàm để tính
Lời giải chi tiết
a) \(y' = \left( {4{x^3} - 3{x^2} + 2x + 10} \right)' = 12{x^2} - 6x + 2\)
b) \(y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)'} = \frac{{1.(x - 1) - (x + 1).1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{x - 1 - x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
c) \(y' = {\left( { - 2x\sqrt x } \right)'} = - 2\left( {1.\sqrt x + x.\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) = - 2\left( {\sqrt x + \frac{x}{{2\sqrt x }}} \right) = - 2\left( {\frac{{2x}}{{2\sqrt x }} + \frac{x}{{2\sqrt x }}} \right)\)
\( = - \frac{{3x}}{{\sqrt x }} = - 3\sqrt x \)
d) \(y' = \left( {3\sin x + 4\cos x - \tan x} \right)' = 3\cos x - 4\sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{{3{{\cos }^3}x - 4\sin x.{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)
e) \(y' = \left( {{4^x} + 2{e^x}} \right)' = {4^x}.\ln 4 + 2{e^x}\)
f) \(y' = \left( {x\ln x} \right)' = x'\ln x + x\left( {\ln x} \right)' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1\)
Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Nội dung bài toán
Bài 3 thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài toán này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm f'(x).
- Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: Lập bảng xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
- Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm để kết luận hàm số đồng biến hay nghịch biến trên các khoảng xác định.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số này.
- Tập xác định: D = R
- Đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
- Điểm tới hạn: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Bảng xét dấu:
x -∞ 0 2 +∞ f'(x) + - + f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến - Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Lưu ý quan trọng
Khi giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến các điểm không xác định của đạo hàm. Ngoài ra, cần kiểm tra kỹ các bước tính toán để tránh sai sót. Việc vẽ đồ thị hàm số cũng có thể giúp bạn hình dung rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số.
Mở rộng kiến thức
Kiến thức về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như kinh tế, vật lý, kỹ thuật,... Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả hơn.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều hoặc các tài liệu tham khảo khác. Hãy nhớ áp dụng các bước giải đã trình bày ở trên và kiểm tra lại kết quả của mình.
Tổng kết
Bài 3 trang 71 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài toán quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa, bạn đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán này. Chúc bạn học tập tốt!
