Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài học này sẽ đi sâu vào định nghĩa, các tính chất quan trọng và cách giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
Tổng vô hạn của cấp số nhân: S = a / (1 - q) nếu |q| < 1

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3.

Giải: u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2.

Giải: S₁₀ = 1(1 - 2¹⁰) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = 1023

4. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tính lãi kép
Tính sự tăng trưởng dân số
Tính sự phân rã của các chất phóng xạ

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tham khảo sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo và các bài tập trực tuyến để củng cố kiến thức của mình.

6. Các dạng bài tập thường gặp

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân
Tìm công bội của cấp số nhân
Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến cấp số nhân

7. Mẹo giải bài tập cấp số nhân

Xác định đúng số hạng đầu và công bội
Sử dụng công thức số hạng tổng quát và công thức tổng để giải bài tập
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác

8. Kết luận

Bài học về cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trong bài học này, bạn sẽ nắm vững kiến thức về cấp số nhân và có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!