THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 7 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Hãy cùng chúng tôi khám phá bài học này ngay nhé!
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thể cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người)
Đề bài
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100m. Giả sử sau mỗi lần rơi xuống, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần rơi xuống và lại được kéo lên, tính từ lúc bắt đầu nhảy (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào công thức cấp số nhân để xác định.
Lời giải chi tiết
Gọi \({u_n}\) là quãng đường người đó rơi xuống lần thứ n.
Khi đó:
\({u_1} = 100\);
\({u_2} = 100.(75\% ) = 75\);
\({u_3} = 100.{(75\% )^2} = 56,25\);
…
Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 75%, có công thức tổng quát \(u_n = 100.(75\%)^{n-1}\) (m).
Tổng quãng đường người đó đi được khi rơi xuống 10 lần là:
\({S_{10}} = 100.\frac{{1 - {{\left( {75\% } \right)}^n}}}{{1 - 75\% }} \approx 377,47\) (m).
Nhận xét: Người đó sau khi rơi xuống lần 1 thì được kéo lên độ cao bằng quãng đường khi rơi xuống lần 2.
Gọi \({v_n}\) là quãng đường người đó được kéo lên lần thứ n.
Khi đó: \({v_1} = {u_2}\); \({v_2} = {u_3}\);…; \({v_{10}} = {u_{11}}\).
Tổng quãng đường người đó được kéo lên sau 10 lần rơi là:
\(S{'_{10}} = {v_1} + ... + {v_{10}} = {u_2} + ... + {u_{11}}\)
\( = {S_{11}} - {u_1} = 100\frac{{1 - {{(75\% )}^{11}}}}{{1 - 75\% }} - 100 \approx 283,11\) (m).
Vậy tổng quãng đường người đó đi được tính cả rơi xuống và được kéo lên sau 10 lần rơi là khoảng 660 mét.
Bài 7 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập:
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x^2 - 5x + 2, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và tích, cũng như quy tắc đạo hàm của lũy thừa:
Áp dụng các quy tắc trên, ta có:
f'(x) = 3 * 2x^(2-1) - 5 * 1 + 0 = 6x - 5
Để tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x^2 + 1)(x - 2), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích:
(uv)' = u'v + uv'
Trong đó:
Áp dụng quy tắc trên, ta có:
g'(x) = 2x(x - 2) + (x^2 + 1) * 1 = 2x^2 - 4x + x^2 + 1 = 3x^2 - 4x + 1
Để tính đạo hàm của hàm số h(x) = (2x + 3) / (x - 1), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:
(u/v)' = (u'v - uv') / v^2
Trong đó:
Áp dụng quy tắc trên, ta có:
h'(x) = (2(x - 1) - (2x + 3) * 1) / (x - 1)^2 = (2x - 2 - 2x - 3) / (x - 1)^2 = -5 / (x - 1)^2
Đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Ví dụ, trong bài toán về vật lý, đạo hàm của hàm vị trí theo thời gian cho ta vận tốc, và đạo hàm của hàm vận tốc theo thời gian cho ta gia tốc.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài 7 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và các bài tập tương tự, các em sẽ nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
