Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, và các ví dụ minh họa để giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm này.

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu tồn tại giới hạn

lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx

thì hàm số f(x) được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x. Ký hiệu: f'(x)

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x còn được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Ý nghĩa hình học của đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x. Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất.

Nếu f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).

Nếu f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b).

Nếu f'(x) = 0, hàm số có thể đạt cực trị tại điểm x.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x²

f'(x) = lim_Δx→0 [(x + Δx)² - x²] / Δx

= lim_Δx→0 [x² + 2xΔx + (Δx)² - x²] / Δx

= lim_Δx→0 [2xΔx + (Δx)²] / Δx

= lim_Δx→0 [2x + Δx]

= 2x

Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x² là f'(x) = 2x.

Ví dụ 2: Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm x = 2.

Ta có y' = 3x². Thay x = 2 vào, ta được y'(2) = 3 * 2² = 12.

Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ tại điểm x = 2 là 12.

4. Luyện tập

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

f(x) = 3x + 1
f(x) = x³ - 2x² + 5
f(x) = 1/x

Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² - 4x + 3 tại điểm x = 1.

5. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ về định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng để các em có thể tiếp tục học tập và nghiên cứu sâu hơn về giải tích. Hy vọng rằng các em sẽ áp dụng những kiến thức này vào việc giải các bài tập và ôn thi hiệu quả.