THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản, thuộc chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về định nghĩa, các dạng phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải chúng một cách chi tiết và dễ hiểu.
1. Khái niệm phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
- Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.
- Các phép biến đổi tương đương:
+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
2. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
4. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
5. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là với SGK Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học và các kỳ thi.
Phương trình lượng giác là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lượng giác. Ví dụ: sin(x) = 0, cos(x) = 1/2, tan(x) = 1.
Nghiệm của phương trình có dạng:
Trong đó k là số nguyên.
Nghiệm của phương trình có dạng:
Trong đó k là số nguyên.
Nghiệm của phương trình có dạng:
x = arctan(a) + kπ
Trong đó k là số nguyên.
Nghiệm của phương trình có dạng:
x = arccot(a) + kπ
Trong đó k là số nguyên.
Để giải phương trình lượng giác cơ bản, ta thường sử dụng các bước sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π, với k là số nguyên.
Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -1
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là x = π + k2π, với k là số nguyên.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
