THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết các quy tắc tính đạo hàm trong chương trình Toán 11 Cánh diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn nền tảng kiến thức vững chắc về các quy tắc đạo hàm cơ bản và quan trọng nhất.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số, cũng như quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Hiểu rõ những quy tắc này là chìa khóa để giải quyết các bài toán đạo hàm phức tạp.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {f + g} \right)' = f' + g';\\\left( {f - g} \right)' = f' - g';\\\left( {fg} \right)' = f'g + fg';\\\left( {\frac{f}{g}} \right)' = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}\left( {g = g\left( x \right) \ne 0} \right).\end{array}\)
2. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).
3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Trong chương trình Toán 11 Cánh diều, việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên, cực trị hàm số và ứng dụng của đạo hàm.
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x0, thì:
Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm số phức tạp bằng cách chia nhỏ thành các hàm số đơn giản hơn và tính đạo hàm của từng phần sau đó.
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x0, thì:
(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
Đây là quy tắc tích, thường được sử dụng khi hàm số là tích của hai hàm số khác. Lưu ý rằng không phải là đạo hàm của u(x) nhân với đạo hàm của v(x).
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x0 và v(x) ≠ 0, thì:
(u(x) / v(x))' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))2
Đây là quy tắc thương, tương tự như quy tắc tích, cần chú ý đến dấu trừ và mẫu số là bình phương của v(x).
Nếu y = f(u) và u = g(x), thì y = f(g(x)) là hàm hợp. Đạo hàm của hàm hợp được tính theo công thức:
y' = f'(g(x)) * g'(x)
Quy tắc hàm hợp là một trong những quy tắc quan trọng nhất trong việc tính đạo hàm, đặc biệt khi hàm số có cấu trúc phức tạp.
Ngoài các quy tắc trên, chúng ta cần nhớ đạo hàm của một số hàm số cơ bản:
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) |
| ex | ex |
| ln(x) | 1/x |
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x2 + 2x - 5
y' = (3x2)' + (2x)' - (5)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x) * cos(x)
y' = (sin(x))' * cos(x) + sin(x) * (cos(x))' = cos(x) * cos(x) + sin(x) * (-sin(x)) = cos2(x) - sin2(x)
Để nắm vững các quy tắc tính đạo hàm, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Việc hiểu rõ và áp dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm là nền tảng quan trọng để bạn tiếp tục học tập và nghiên cứu các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích.
