THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 9 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc ôn tập chương 1: Giới hạn.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải dễ hiểu, đầy đủ các bước, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.
a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM)
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D’B với các mặt phẳng (A’DN), (B’CM). Chứng minh rằng \(D'E = BF = \frac{1}{2}EF\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu d,d' nằm trong (P) và d, d'//(Q) thì (P)//(Q).
Lời giải chi tiết
a)
Ta có: (ADD’A’) // (CBC’B’);
(ADD’A’) ∩ (DCB’A’) = A’D;
(CBC’B’) ∩ (DCB’A’) = B’C.
Do đó A’D // B’C, mà B’C ⊂ (B’CM) nên A’D // (B’CM).
Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’);
(ABB’A’) ∩ (DMB’N) = MB’;
(DCC’D’) ∩ (DMB’N) = DN.
Do đó MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) nên DN // (B’CM).
Ta có: A’D // (B’CM);
DN // (B’CM);
A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)
Do đó (A’DN) // (B’CM).
b)
Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.
Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.
Ta có: D’B ∩ DJ = {E} mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).
Tương tự, trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.
Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.
Ta có: D’B ∩ B’I = {F} mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).
• Ta có: (A’DN) // (B’CM);
(A’DN) ∩ (BDD’B’) = DJ;
(B’CM) ∩ (BDD’B’) = B’I.
Do đó DJ // B’I.
Trong mp(BDD’B’), xét DBDE có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BE}}\) (1)
Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.
Xét ∆ABC, hai đường trung tuyến BO, CM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác
Suy ra \(\frac{{BI}}{{BO}} = \frac{2}{3}\) hay \(\frac{{BI}}{{\frac{1}{2}BD}} = \frac{{2BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)
Do đó \(\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{BF}}{{BE}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra \(\frac{{D'E}}{{D'F - D'E}} = \frac{1}{{3 - 1}}\) hay \(\frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}\) .
Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{{D'E}}{{D'F}} = \frac{{D'J}}{{D'B'}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra \(\frac{{D'E}}{{D'F - D'E}} = \frac{1}{{3 - 1}}\) hay \(\frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}\)
Do đó \(\frac{{BF}}{{EF}} = \frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}\) nên BF = D’E = ½ EF.
Bài 9 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn để giải các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Bài 9 yêu cầu tính các giới hạn sau:
Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho n:
lim (2n + 1) / (n + 2) = lim (2 + 1/n) / (1 + 2/n)
Khi n tiến tới vô cùng, 1/n và 2/n tiến tới 0. Do đó:
lim (2 + 1/n) / (1 + 2/n) = 2 / 1 = 2
Tương tự, ta chia cả tử và mẫu cho n^2:
lim (3n^2 + 2n - 1) / (n^2 + 1) = lim (3 + 2/n - 1/n^2) / (1 + 1/n^2)
Khi n tiến tới vô cùng, 2/n, 1/n^2 và 1/n^2 tiến tới 0. Do đó:
lim (3 + 2/n - 1/n^2) / (1 + 1/n^2) = 3 / 1 = 3
Để tính giới hạn này, ta nhân liên hợp:
lim (√(n^2 + 1) - n) = lim [(√(n^2 + 1) - n) * (√(n^2 + 1) + n)] / (√(n^2 + 1) + n)
= lim (n^2 + 1 - n^2) / (√(n^2 + 1) + n) = lim 1 / (√(n^2 + 1) + n)
Khi n tiến tới vô cùng, √(n^2 + 1) + n tiến tới vô cùng. Do đó:
lim 1 / (√(n^2 + 1) + n) = 0
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 1/2. Do |q| < 1, tổng của cấp số nhân này là:
S = u1 / (1 - q) = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2
Vậy, lim (1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n) = 2
Tóm lại, các kết quả của bài tập Bài 9 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là:
Khi tính giới hạn của một phân thức với n tiến tới vô cùng, ta thường chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n ở mẫu. Đối với các tổng vô hạn, ta kiểm tra xem nó có phải là cấp số nhân lùi vô hạn hay không.
Để luyện tập thêm, các em có thể giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều hoặc các đề thi thử Toán 11.
Montoan.com.vn là địa chỉ học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng và lời giải chi tiết cho các môn Toán từ lớp 6 đến lớp 12. Hãy truy cập Montoan.com.vn để học toán hiệu quả hơn!
